银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 S8.1多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1.平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点 P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组 (x,)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。 二元的序实数组(x,y)的全体，即R=R×R={化，水，yER}就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E={(x,y川(x,)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C={x,y川x2+y2<2 如果我们以点P表示(x,),以OP表示点P到原点O的距离，那么集合C可表 成 C=(PlOPr). 邻域： 设Po(0,o)是xOy平面上的一个点，6是某一正数.与点P(x0,0)距离小于 6的点P(x,)的全体，称为点Po的6邻域，记为U(P,),即 U(P.6)=(PlIPRKU(P.8)={(x,y)(x-x)2+(y-yo)2<8). 邻域的几何意义：U(Po,可表示xOy平面上以点P(xo,o)为中心、6>0为 半径的圆的内部的点P(x,)的全体， 点Po的去心6邻域，记作U(P,),即 U(B,)={P10BPk}. 注：如果不需要强调邻域的半径6则用U(Po)表示点P的某个邻域，点 Po的去心邻域记作U(C) 点与点集之间的关系： 任意一点PR2与任意一个点集EcR2之间必有以下三种关系中的一种： )内点：如果存在点P的某一邻域UP),使得U(P)cE,则称P为E的内 点； 2)外点：如果存在点P的某个邻域UP),使得UP)nE=O,则称P为E 的外点； ③)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点 E的边界点的全体，称为E的边界，记作⑦E. E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也 可能不属于E. 聚点：如果对于任意给定的0，点P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点， 则称P是E的聚点 第2页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 2 页 §8 1 多元函数的基本概念 一、平面点集 n 维空间 1．平面点集 由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组 (x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R 2 RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x 2 y 2 r 2 } 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表 成 C{P| |OP|r} 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于  的点 P (x y)的全体 称为点 P0 的  邻域 记为 U (P0  即 ( , ) { || | } U P0   P PP0  或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0   x y xx0  y y   邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为 半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心  邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0   P  P0P    注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 ( ) U P0   点与点集之间的关系 任意一点 PR 2 与任意一个点集 ER 2 之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内 点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点 E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也 可能不属于 E  聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U(P, )  内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点