教案 微分学中值定理 教学内容 导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具,为了应用这一工具来研究 函数的整体性质,需要一个联系局部与整体的桥梁,这就是微分中值定理。它在 研究函数的性质和函数估计中起着重要作用,是数学理论研究的一个重要工具。 本节主要讲解以下几方面的内容 (1)局部极值与 Fermat定理 (2) Rolle定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理 (3)中值定理的初步应用。 教学思路和要求 (1)首先引入局部极值的概念,再讲解取极值的必要条件: Fermat定理。 要讲清楚这个问题的背景,并且使学生不但能从分析上理解证明过程,而且明白 它的几何意义。 2)在结合讲解Roll定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理的同时 介绍这些定理证明的几何背景,注意引导学生发挥主动意识,避免死记硬背证明 过程 (3)中值定理的应用是多方面的,因此在讲解这方面的例题时,要力求讲 出解决问题的着手点和思路,注意引导学生思考,能够举一反三,自行解决问题。 教学安排 局部极值与 Fermat定理 为了研究函数的局部性质与整体性质的联系,先要找出其局部的一些显著特 征,其中之一就是极值。 定义2.4.1设有函数∫,如果在x0的某个邻域O(x0,δ)上恒成立 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x0) 则称x为函数∫的局部极大值点(或局部极小值点),简称为极大值点(或极小 值点),称∫(x)是函数∫的局部极大值(或局部极小值),简称为极大值(或极 小值)。 极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值。必须注意: 极值只取决于点x邻近函数f的性状,即只是在x0的某邻域内才相对地有意义, 所以是一种局部性质 定理2.4.1( Fermat定理)若点x0是函数∫的一个极值点,且∫在x处可 导,则必有 f(x0)=0 证不妨设在邻域O(x0,)内f(x)≤f(x0)。于是,当x<x时成立 f(x)-f(x0)导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具，为了应用这一工具来研究 函数的整体性质，需要一个联系局部与整体的桥梁，这就是微分中值定理。它在 研究函数的性质和函数估计中起着重要作用，是数学理论研究的一个重要工具。 本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 局部极值与 Fermat 定理； （2） Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理； （3） 中值定理的初步应用。 （1） 首先引入局部极值的概念，再讲解取极值的必要条件：Fermat 定理。 要讲清楚这个问题的背景，并且使学生不但能从分析上理解证明过程，而且明白 它的几何意义。 （2） 在结合讲解 Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy中值定理的同时， 介绍这些定理证明的几何背景，注意引导学生发挥主动意识，避免死记硬背证明 过程。 （3） 中值定理的应用是多方面的，因此在讲解这方面的例题时，要力求讲 出解决问题的着手点和思路，注意引导学生思考，能够举一反三，自行解决问题。 Fermat 为了研究函数的局部性质与整体性质的联系，先要找出其局部的一些显著特 征，其中之一就是极值。 设有函数 f ，如果在 0 x 的某个邻域 ( , ) O x0  上恒成立 ( ) ( ) 0 f x  f x (或 ( ) ( ) 0 f x  f x )， 则称 0 x 为函数 f 的 （或 ），简称为 （或 ），称 ( ) 0 f x 是函数 f 的 （或 ），简称为 （或 ）。 极大值点与极小值点统称为 极大值与极小值统称为 必须注意： 极值只取决于点 0 x 邻近函数 f 的性状，即只是在 0 x 的某邻域内才相对地有意义， 所以是一种局部性质。 （Fermat ） 若点 0 x 是函数 f 的一个极值点，且 f 在 0 x 处可 导，则必有 f (x0 )  0 。 不妨设在邻域 ( , ) O x0  内 ( ) ( ) 0 f x  f x 。于是，当 0 x  x 时成立 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x