·204· 北京科技大学学报 1993年No.2 一条母线就是「W。(P,G,的方程极易得出。 可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面族和曲线族的包络问题，包络的计算 公式可参考文献[5]。为了与文献一致，我们分别用「、：{「、{∑；「、Σ表示母线、 母面；曲线族、曲面族以及它们的包络 2用包络法分组解法求解机器人操作机 工作空间界限曲面的实例 如图2所示为PUMA560型机器人，试求其在关节变量无结构限制条件下（即0°< <360°)的工作空间界限曲面。 解： (1)分析 由图2可将0，三0，三0。=P,定为手腕点，把6个关节分为两组： ①因为后三关节(J,二4、5、6)为轴线、相交于W的旋转关节，故固联于杆6上 的任一参考点P。,在S,中形成以P,为心的球面Σw,(P6它就是P。在后三关节工作 空间的界限曲面，简记为Σ， ②前三关节(J,=1、2、3)中，因为Z,∥Z,所以作为杆3上的点P,在S,中形 成圆（图3），该圆以日，为变量绕Z,旋转形成平面圆族，该圆族有两包络，它们的所在平 面平行于S,中的X,O,Z,面。当S,带着它们绕Z,轴旋转时，在S。中形成双层球面( 图4：它们是P,在S。中所形成的工作空间界限面Σw。(P,),简记作Σ。 0. 图2PUMA560轴测简图 图3前三坐标系及P,形成C。 Fig.2 ISOmetric drawing of PUMA560 Fig.3 Forward three link frames and formation of Cr by P34 2 0 北 京 科 技 大 学 学 报 1年9 9 3 o N Z 一条母 线就是 r ` 。 (P 3 , G) , , 的方 程极 易得 出 。 可 见 , 求工作 空 间 的 问 题 , 可 以 归 结 为 求曲面族和 曲线 族 的 包络 问 题 , 包 络的 计算 公式 可参考 文献 【5] 。 为 了与 文献一 致 , 我 们分别用 r 、 ;Z { r } 、 {划; r 、 艺 表 示 母线 、 母面 ; 曲线族 、 曲 面族以 及 它们的包络 。 2 用 包络法分组解法求解机器人操作机 工作空 间界 限曲面的 实例 如图 2 所示为 P U M A 5 60 型机器 人 , 试求 其在关节 变量 无结构 限制条件 下 ( 即 0 “ 《 民< 3 60 。 ) 的工 作空 间界 限 曲面 。 解 : ( l ) 分析 由图 2 可将 口 4 三 O , 三 O 。 三 尸 , 定 为手 腕点 , 把 6 个关节分 为 两组 : ① 因为后 三 关 节 (J ; 二 4 、 5 、 6) 为轴 线 、 相 交 于 附 的旋 转关节 , 故 固联 于 杆 6 上 的任 一 参考点 尸6 , 在 5 3 中形 成 以 尸 , 为心 的 球面 艺 w 3 (尸 。 ), 它就 是 尸。 在后 二 关节工作 空间 的界 限 曲面 , 简 记 为 艺 , 。 ② 前三 关节 (J , 二 l 、 2 、 3) 中 , 因为 2 2 刀Z 〕 , 所 以 作为杆 3 上 的点 尸 , 在 5 2 中形 成圆 ( 图 3) , 该 圆以 0 2 为变量绕 2 2 旋转形成平 面 圆族 , 该圆族有两 包络 , 它们 的所在平 面平行 于 5 . 中的 x , O : Z , 面 。 当 5 1 带 着它 们绕 2 1 轴旋转时 , 在 S 。 中形 成双 层 球面 ( 图 4) ; 它们是 尸。 在 S 。 中所 形成 的工作 空 间界 限面 艺w o (P 3 ), 简记作 艺。 。 、 _ _ ` 0 . 图 2 P U M A 560 轴测简图 Fi g . 2 I S 0 m e州 e d r a w i n g o f P U M A 5 60 图 3 前三坐标系及 尸, 形成 C P 、 F ig . 3 F o 川 a dr t h er li n k fr a m se a n d fo mr a it o n o f C P 、 b y 已