Vol.15 No2 求解机器人工作空间的包络法 ·205· ③将∑，的球心P,沿∑。面移动，得Σ。的两个双参数曲面族，其包络是两个等距 曲面∑，和∑2，它们就是所要求的界限曲面（图S)即2w,(P,)和Σw,(P:)。 (2)求解 为节省篇幅，仅求腕点P,(三O,)工作空间的界限曲面 ①由图1知 P,=(a,d,o)(在S,中可见图3) 求T,T,T(略)即S,坐标在S,中，S,在S,中，S,在S。中的齐次坐标变 换。 ②求P,绕Z,形成的C。,，表示在坐标系S,中，得： rx2=a,C8,-d4S8,+a2 C元，=TP,=y,=a,S0,+d,C8, (1) (Z,=d, 由式(1)可知C。是-个圆，半径为R=√@+d,圆心在(x2,y,22) =(a2'o,d,且该圆在平面Z,=d3上。 ®Cp,绕Z,轴旋转，形成曲线族{C。,表示在坐标系S,中，有： (C,)=T3ci x,=(a,C6,-d,S9,+a,)C02-(a2S8,+d,C0)S02 y1=d3 (2) lz1=-S92(a,C0,-d,S6,+a)-C02(a,S0+d,C0 由式(2)可以看出，该曲线族为平面曲线族，由包络公式得平面曲线族的包络条件 式为：（注意到0，→1、0，→a) =x1.2-ax1.1=0 中 Γa0,a0,a0,a6, (3) 得： [x,=c0,a±√a+d) y=d (4) z,=-S0,a,±√a+d) 它的轴剖线「。是： [x。=√c20,R+d 「o:yo=0 (5) l。=-S82R。o l V . 1 5 0 N 2 求解机器人工作 空间的包络法 0 5 2 ③ 将 艺 的 3 球心 p 。 沿 Z 。 面 移动 , 得 艺。 的两个 双参数曲 面族 , 其包络是两个等距 曲面 艺。 , 和 艺。 2 , 它们就是所要求的界 限 曲面 (图 5 ) 即 艺w 。 ( p 3 ) 和 艺w 3 ( p 3 ) ( 2 ) 求解 为节省篇幅 , 仅求腕点 尸 3 ( 三 口 3 ) 工作空 间的界 限曲面 ① 由图 l 知 p , 一 ( a , , d 4 , o ) (在 S 。 中可见 图 3 ) 求 T ; , T ; , T { ( 略 ) ” p 、 3 坐标在 、 2 中 , 、 2 在 、 ; 中 , 、 , 在 、 。 中的齐 次坐标变 换 。 ②求尸 3绕 Z : 形成的 C : 3 , 表示在 坐标系 5 2 中 , 得 : c 毛r 3 一 式J 尸 一j { ` 2 一 “ 3 c 0 3 一 “ 4 “ 日3 十 “ 2 { ’ 2 一 “ 3 “ 口3 + “ 4 c “ 3 t Z Z 二 叭 由 式 (l ) 可 知 C , 3 是 一 个 圆 , 半 径 为 R - 、 / 。 { +d 弓 圆 心 在 ( x ( l ) y Z , 艺 2 ) 一 a( 2 , “ , 么), 且 该圆 在平面 2 2 = d 3 上 。 ③吼 3绕 2 2轴旋转 , 形成曲线族 { C , 3 } , 表示在 坐标 系 S , 中 , 有 : { C 二 3 } 一 T ; · C 二 3 一 d 4 s 口3 + a Z ) C 口2 一 ( a 2 5 0 3 + d 4 C 0 3 ) S e Z 5 0 2 ( a 。 C e 3 一 d 4 S O 。 + a Z ( 2 ) C 0 2 ( a 3 5 0 3 + d 4 C e 3 由包络公式 得平面 曲线族的 包络条件 y Z `1.t .J } = ( a 。 C o 二 d : 由式 ( 2) 可 以 看出 , 该 曲线族 为平面 曲线族 , 式 为 : (注意到 0 3 ” r 、 日2 ” a ) 中一 华 · 华 一 华 · 华 一 。 a 口 2 刁U 一 a 口 z 刁口 2 ( 3 ) 得 : C P 3 { x , 一 e o Z ( a 士了 a : + 、 ; ) 少 1 = d 3 艺 , 一 50 2 a( 2 土了可认 ( 4 ) 它 的轴剖线 r , 是 : U = O ( 5 ) = 一 s 8 2 R o yoxooz r