第二节数学建模简介与建立函数关系举例 习题1-2 1.设一正圆锥体高为H,底半径为R.现有一正圆柱体内接于该圆锥体,已 知正圆柱体的底半径为r.试将该圆柱体的高h与体积V表示成r的函数 H-h H 解由 得,h H R (R-r);V=Trh=T(R-r) R 2.有一长1m的细杆(记作OAB),OA段长0.5m,其线密度(单位长度细杆的质 量)为2kgm,AB段长05m,其线密度为3kg/m.设P是细杆上任意一点,OP长 为x,质量为m,求m=f(x)的表达式 解当0≤x≤0.5时,f(x)=2x;当0.5<x≤1时,f(x)=2×0.5+3(x-0.5)=1 3(x-0.5) 故m=f(x=2 0≤x≤0.5 1+3(x-0.5),0.5<x≤1 3.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重 量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系 解由题意,易知 当0<x≤20时,y=080;当20<x≤40时,y=2×0.80=1.60;当40<x≤60 时,y=3×0.80=240;…当1980<x≤2000时,y=100×080=8000 0<x≤20 故y={240 40<x≤60 980<x≤2000 4.有一身高为a(m)的人在距路灯杆b(m)处沿直线以c(m/s)朝远离灯杆的方 向匀速行走,假设路灯高为h(m)h>a),求人影的影长s与时间t的关系 解由题意2=5故 a(ct+b h s+(ct +b) h 5.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角φ=40°(如下图).当过水断面ABCD 的面积为定值S时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并 指明其定义域1 第二节 数学建模简介与建立函数关系举例 习 题 1-2 1. 设一正圆锥体高为 H , 底半径为 R . 现有一正圆柱体内接于该圆锥体, 已 知正圆柱体的底半径为 r . 试将该圆柱体的高 h 与体积V 表示成 r 的函数. 解 由 Hh r H R − = 得, ( ) H h Rr R = − ; 2 2 π π ( ) H V rh R rr R == − . 2. 有一长1m 的细杆(记作OAB ), OA段长0.5 m, 其线密度(单位长度细杆的质 量)为 2 kg /m; AB 段长0.5 m, 其线密度为3kg /m. 设 P 是细杆上任意一点, OP 长 为 x , 质量为 m , 求 m fx = ( ) 的表达式. 解 当0 0.5 ≤ ≤x 时, ( ) 2 f x x = ; 当0.5 1 < x ≤ 时, ( ) 2 0.5 3( 0.5) fx x = ×+ − =1 + − 3( 0.5) x . 故 2 , 0 0.5, ( ) 1 3( 0.5), 0.5 1. x x m fx x x ⎧ ≤ ≤ = = ⎨ ⎩ + − <≤ 3. 邮局规定国内的平信, 每 20g 付邮资 0.80 元, 不足 20g 按 20g 计算, 信件重 量不得超过 2kg , 试确定邮资 y 与重量 x 的关系. 解 由题意, 易知: 当 0 20 < ≤x 时, 0.80 y = ; 当 20 40 < x ≤ 时, 2 0.80 1.60 y = × = ; 当 40 60 < ≤x 时, 3 0.80 2.40 y =× = ;" 当1980 2000 < x ≤ 时, 100 0.80 80.00 y = × = . 故 0.80, 0 20, 1.60, 20 40, 2.40, 40 60, , 80.00, 1980 2000. x x y x x ⎧ < ≤ ⎪ < ≤ ⎪ ⎪ = <≤ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ < ≤ " " 4. 有一身高为 a(m) 的人在距路灯杆b(m) 处沿直线以 c(m/s) 朝远离灯杆的方 向匀速行走, 假设路灯高为 h ha (m)( ) > , 求人影的影长 s 与时间t 的关系. 解 由题意 ( ) a s h s ct b = + + , 故 a ct b ( ) s h a + = − . 5. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ = 40D (如下图). 当过水断面 ABCD 的面积为定值 0 S 时, 求湿周 L ( L AB BC CD = + + )与水深 h 之间的函数关系式, 并 指明其定义域