问题1:下面解题方法对吗? 2 (1) lim xe=li Im X→)0 (2) lim x-sinx=1im1=csx不存在 x→∞x+ sin x x→∞1+cosx 答:均为错误 (1)因为不是未定式,不能用洛必达法则,正确解法应为 ∴imex2=e"=1,∴, lim xex (2)不满足洛必达法则的条件。正确解法应为 1--sin x limx-sinx=lim =1(lim -Sinx=0) x→x+Snxx∞ x→0 +-sin x 说明:洛必达法则只是充分条件,它不是万能的 问题2:用下述方法证明柯西定理,对吗? 证:因为f(x),F(x)均在园a,b上满足拉格定理中值定理条件,故存在5∈(a,b),使 得f(b)-f(a)=f()(b-a),F(b)-F(a)=F()(b-a),且,两式相除,得 f(b-f(a)f(5) F(b)-F(a F(s 答:不正确因为分别对f(x)F(x),在,b]上应用拉格朗日中值定理得到的x未必 是同一个,应为不同的,分别设为x1x2,则得到的等式应该是 f(b)-f(a)f(51) F(b)-F(a)F(52) 而得不到上述结论 问题3:如果f(x)在x0取得极值,是否必有f(x)=0 分析不一定因为函数还可以在导数不存在的点取得极值 问题4:如果可导函数f(x)当x>4时,有f(x)>0,则当x>a,有f(x)>0,该结 论正确吗?29 问题 1：下面解题方法对吗？ （1） 2 2 2 2 1 1 1 1 3 2 2 2 lim lim lim lim 0 1 1 x x x x x x x x e e e x xe x x x → → → → − = = = = − ； （2） sin 1 cos lim lim x x sin 1 cos x x x → → x x x − − = + + 不存在. 答： 均为错误. （1） 因为不是未定式，不能用洛必达法则，正确解法应为 2 1 0 lim 1 x x e e → = = ， 2 1 lim x x xe → = ， （2） 不满足洛必达法则的条件。正确解法应为 1 1 sin sin lim lim 1 sin 1 1 sin x x x x x x x x x x → → − − = = + + （ 1 lim sin 0 x x → x  = ）. 说明：洛必达法则只是充分条件，它不是万能的. 问题 2：用下述方法证明柯西定理，对吗？ 证：因为 f x F x ( ), ( ) 均在 [ , ] a b 上满足拉格定理中值定理条件，故存在  ( , ) a b ，使 得 f b f a f b a F b F a F b a ( ) ( ) '( )( ), ( ) ( ) '( )( ) − = − − = −   ，且，两式相除，得 ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f b f a f F b F a F   − = − 答：不正确.因为分别对 f x F x ( ), ( ) ，在 [ , ] a b 上应用拉格朗日中值定理得到的 x 未必 是同一个，应为不同的，分别设为 1, 2 x x ，则得到的等式应该是 1 2 ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f b f a f F b F a F   − = − 而得不到上述结论. 问题 3：如果 f x( ) 在 0 x 取得极值，是否必有 0 f x ( ) 0 = ？ 分析 不一定.因为函数还可以在导数不存在的点取得极值. 问题 4：如果可导函数 f x( ) 当 x a  时，有 f x ( ) 0  ，则当 x a  ，有 f x( ) 0  ，该结 论正确吗？