808 北京科技大学学报 第35卷 yu=yava≡C,a∈(0，ao) (2) 记带钢的密度为P,根据物理学原理回，微元体的 动量变化即式(1)右边为： dv =(2 Bpydx)× Ox Ot (2 Bpyd.x)× +0 OU =(2Bpydz) 2 :2h (2Bpyvdz) 0a Ox =(2BpCdr) da o y Ox C dy do (2BpCdr) y2 da Ox 2BC d du e 2BpC2 2 da Ox (3) 将式(2)~(3)带入方程(1)，并忽略高次微分项，整 理得： 图2热轧带钢受力分析积分方法 (ady)++s(f cosa-Psin a)C2 2d.(④ Fig.2 Integral method for hot-strip-rolling (2)接触弧曲线的化简.式(1)和式(4)都没有 1.2.2方程的化简 考虑接触面的具体形状，因此是普遍适用的.根据 对式（⑧）两边进行整理得 轧辊绝对刚性的假设，上接触面即为上工作辊的辊 -a 面，其描述成α的形式，其方程为 yao +Thh+ △S(f cosa-P sin a)dy= x =-Rsin a, y=R+h-Rcosa. (5) c(-) (9) 从而高度微元dy和接触面面积微元.△S为 将接触弧方程（⑤）~（⑥各式带入式(9），并整理得 dy =Rsin a da, △S=Rda. (6) %=cn(-R+h-Rsa） 1 -Thh- 将式(6)带入式(4)，并整理得 a d(yo)+(f-Ptana)Rcosada= R(f-Ptana)cosa da. (10) 0 pC2Rsina (R+h-Rcosa)2da. (7) 不难发现，对式(10)进行微分处理，即为式(7)，这 l.2 Kalman模型的积分方法 说明积分方程和微分方程本质上是一致. 在微分方法中，对a~a+da的微元体进行受 2应力分解与屈服条件 力分析，建立了带钢轧制的微分方程；若将0~α的 连续体作整体考虑，可建立本文所述的积分方程. 在图1中，压力P和摩擦力f相互正交，但 1.2.1方程的建立 方向随接触点的变化而变化，为此必须将其等效到 如图2所示，记单位时间内流经0~α连续体 xoy坐标系中.如图3所示，记x轴方向的等效作 控制截面的带钢为M,则流出与流入控制截面的动 用力为P红，y轴方向的等效作用力为Py根据等 量变化有如下方程： 效前后作用力合力相等原则，于是有 o×2Bya+Thn×2Bh+2B. =. P.△S)osa+f:△S)sima=P+ftano, AS(f cosa-Psina)dy M(vo-va),(8) AS&ap8品e-j-Pama △Scos a △Scos a M≡2Bpyu=2BpC. (11)· 808 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 yv ≡ yαvα ≡ C, α ∈ (0, α0). (2) 记带钢的密度为 ρ，根据物理学原理 [1]，微元体的 动量变化即式 (1) 右边为： m dv dt = (2Bρydx) × µ ∂v ∂x · ∂x ∂t + ∂v ∂t ¶ = (2Bρydx) × µ ∂v ∂x · ∂x ∂t + 0¶ = (2Bρydx)v ∂v ∂x = (2Bρyvdx) ∂v ∂α · ∂α ∂x = (2BρCdx) ∂ ∂α µ C y ¶ · ∂α ∂x = (2BρCdx) µ − C y 2 dy dα ¶ ∂α ∂x = − 2BρC2 y 2 dx dy dα ∂α ∂x = − 2BρC2 y 2 dy (3) 将式 (2)∼(3) 带入方程 (1)，并忽略高次微分项，整 理得： (σdy) + ydσ + ∆S(f cos α − P sin α) = ρC2 y 2 dy. (4) (2) 接触弧曲线的化简. 式 (1) 和式 (4) 都没有 考虑接触面的具体形状，因此是普遍适用的. 根据 轧辊绝对刚性的假设，上接触面即为上工作辊的辊 面，其描述成 α 的形式，其方程为 ( x = −R sin α, y = R + h − R cos α. (5) 从而高度微元 dy 和接触面面积微元.∆S 为 ( dy = R sin α dα, ∆S = R dα. (6) 将式 (6) 带入式 (4)，并整理得 d(yσ) + (f − P tan α)R cos αdα = ρC2R sin α (R + h − R cos α) 2 dα. (7) 1.2 Kalman 模型的积分方法 在微分方法中，对 α ∼ α+ dα 的微元体进行受 力分析，建立了带钢轧制的微分方程；若将 0∼ α 的 连续体作整体考虑，可建立本文所述的积分方程. 1.2.1 方程的建立 如图 2 所示，记单位时间内流经 0∼ α 连续体 控制截面的带钢为 M，则流出与流入控制截面的动 量变化有如下方程：    σ × 2Byα + τh × 2Bh + 2B· Z α 0 ∆S(f cos α − P sin α) dy = M(v0 − vα), M ≡ 2Bρyv = 2BρC. (8) 图 2 热轧带钢受力分析积分方法 Fig.2 Integral method for hot-strip-rolling 1.2.2 方程的化简 对式 (8) 两边进行整理得 yασ + τhh + Z α 0 ∆S(f cos α − P sin α)dy = ρC2 µ 1 y0 − 1 yα ¶ . (9) 将接触弧方程 (5)∼(6) 各式带入式 (9)，并整理得 yασ = C 2 ρ µ 1 h − 1 R + h − R cos α ¶ − τhh− R Z α 0 (f − P tan α) cos α dα. (10) 不难发现，对式 (10) 进行微分处理，即为式 (7)，这 说明积分方程和微分方程本质上是一致. 2 应力分解与屈服条件 在图 1 中，压力 P 和摩擦力 f 相互正交，但 方向随接触点的变化而变化，为此必须将其等效到 xoy 坐标系中. 如图 3 所示，记 x 轴方向的等效作 用力为 Pyx，y 轴方向的等效作用力为 Pyy. 根据等 效前后作用力合力相等原则，于是有    Pyy = (P · ∆S) cos α ∆S cos α + (f · ∆S) sin α ∆S cos α =P +f tan α, Pyx = (f · ∆S) cos α ∆S cos α − (P · ∆S) sin α ∆S cos α =f −P tan α. (11)