四、解答下列各题(1、3每小题7分,2小题6分,共20分) 1、将函数f()= 在圆环域1<z+1k<+∞展开成 Laurent级数 ∫(=) 2(z+ (z+1)-1+z+1 (二+1 (二+1) 6、求一个函数=f(),使得它把上半单位圆盘{2:|k1,Im(z)>0}共形地映 射成上半平面{w:Im(w)>0} 解:函数O=二将上半单位圆盘映照为第一象限 =a2将第一象限映照为上半平面 故w=()2将上半单位圆盘映照为上半平面 3、用 Laplace变换解微分方程的初值问题 x"-3x-4x=e-+1,x(0)=0,x'(0)=1 解:方程两边同时施加 Laplace变换得:四、解答下列各题（1、3 每小题 7 分，2 小题 6 分，共 20 分） 1、将函数 )1( 1 )( + = zz zf 在圆环域 < z + |1|1 < +∞ 展开成 Laurent 级数。 解： 2 2 0 1 ( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) . n n f z z z z z z z z +∞ − − = = + = ⋅ + −+ + = ⋅ + − + = + ∑ 6、求一个函数 ，使得它把上半单位圆盘 = zfw )( < zzz > }0)Im(,1||:{ 共形地映 射成上半平面 ww > }0)Im(:{ 。 解： 函数 1 1 z z ω + = − 将上半单位圆盘映照为第一象限 2 w=ω 将第一象限映照为上半平面 故 1 2 ( ) 1 z w z + = − 将上半单位圆盘映照为上半平面 3、用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 3 4 t x x xe− ′′ ′ − −= +1， x = 0)0( ， x′(0) 1 = 。 解：方程两边同时施加 Laplace 变换得： 8