显然存在矩阵A’B使得 A b2|=B B2 b +b B 所以A+B +b2 b +B 2 b b 因此R(A+B)≤R(4)+R(B) 1l.设向量组A:v,V2,…vn能由向量组B:1,l2,L1线性表示为 (v1,V2,…,Vn)=(u1,2 其中K为t×m阶矩阵,且向量组B线性无关。证明向量组A线性无关的充要条件是矩阵 K的秩R(K)=m 证明:必要性:若A组线性无关 令A=(12…,v)B=(12…,1)则有A=BK 由定理知R(K)≥R(A) 由A组:v1,V2…,v线性无关知R(A)=m,故R()≥R(A)=m 又知K为t×m阶矩阵,则R(K)≤min{t,m} 由于向量组A:v,V2…,v能由向量组B:u1,L2…,L1线性表示则m≤t mint, m)=m 综上所述知m≤R(K)≤m即R(K)=m 充分性:若R(K)= 令x"+x2"2+…+xnvn=0,其中x为实数i=1,2,…,m 则有(v1,V2,…,"n 又(",…vn)=(a1…,n)K,则(1…n)kᰒ✊,ᄬ೼ⶽ䰉 A¢,B¢Փᕫ T TT T 1 11 1 T TT T 2 22 2 T TT T , n ns r æö æö æ ö æ ö ç÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ = = ¢ ¢ ç ÷ ç ÷ ç ÷ èø èø è ø è ø a b Į ȕ a b Į ȕ A B a b Į ȕ M MM M ᠔ҹ TT T T T T 11 1 1 1 1 TT T T T T 22 2 2 2 2 TT T T T T nn n n s r æ öæ öæ ö æ ö + æ ö ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ + += = + = + ¢ ¢ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè øè ø è ø + è ø ab a b Į ȕ ab a b Į ȕ AB A B ab a b Į ȕ M MM M M ಴ℸ R(A+B)İR(A)+R(B) 11. 䆒৥䞣㒘 A˖ 1 2 , ,..., m vv v 㛑⬅৥䞣㒘 B˖ 1 2 , ,..., uu ut 㒓ᗻ㸼⼎Ў 12 1 2 ( , ,..., )=( , ,..., ) m t vv v uu uK ݊Ё KЎ t m´ 䰊ⶽ䰉ˈϨ৥䞣㒘 B 㒓ᗻ᮴݇DŽ䆕ᯢ৥䞣㒘 A 㒓ᗻ᮴݇ⱘܙ㽕ᴵӊᰃⶽ䰉 K ⱘ⾽ R m ( ) K = 䆕ᯢ˖ᖙ㽕ᗻ˖㢹 A 㒘㒓ᗻ᮴݇ Ҹ 1 1 (, , ) (, , ) Av v Bu u = = L L m t ᳝߭ A BK = ⬅ᅮ⧚ⶹ R(K)ıR(A) ⬅ A 㒘: 1 2 , ,..., m vv v 㒓ᗻ᮴݇ⶹ R(A)˙mˈᬙ R(K)ıR(A)˙m. জⶹ K Ўt m´ 䰊ⶽ䰉ˈ߭ R( ) min{ , } K tm £ ⬅Ѣ৥䞣㒘 A˖ 1 2 , ,..., m vv v 㛑⬅৥䞣㒘 B˖ 1 2 , ,..., uu ut 㒓ᗻ㸼⼎,߭ m t £ \ = min{ , } tm m 㓐Ϟ᠔䗄ⶹ m m £ £ R( ) K े R( ) K = m ˊ ߚܙᗻ˖㢹 R(K)˙m Ҹ 11 2 2 ... m m xx x v v vo + ++ = ,݊Ё i x Ўᅲ᭄i m =1,2, , L ᳝߭ 1 1 2 (, , , ) m m x x æ ö ç ÷ = ç ÷ è ø vv v o L M জ 1 1 (, , ) (, , ) v v u uK L L m t = ,߭ 1 1 (, ,)t m x x æ ö ç ÷ = ç ÷ è ø u uK o L M