叫|k1k2…knle k1k12…kn k2n2|由2|≠0→ knk2…k k k k1k12…kn 令A k, k ,则矩阵A可逆 knkn2…k 由 A A 即e1:巳2…,en都能由,v2,…,v线性表示,因为任一n维向量能由单位向量e1,e2,en线 性表示,故任一n维向量都可以由v,V2…,v线性表示 充分性:已知任一n维向量都可由v1,V2,…,v线性表示,则单位向量组:e1,e2…,en可由 v1,V2,…,V线性表示,由8题知v1,V2…,v线性无关 9.设向量组A:v,V2,…,v的秩为,向量组B:1,2…,L的秩为F2,向量组C: v1,2,…,Vn,1,u2,u1的秩为,证明max{,2}≤F≤F+l2 证明:设A,BC的最大线性无关组分别为ABC,含有的向量个数(秩)分别为F,2,F,则 ABC分别与A'B'C等价易知A,B均可由C线性表示则R()≥R(4)R(O≥R(B),即 max{,n2}≤r3 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表示即C可由D线性表 示从而C可由D线性表示,所以R(C)≤R(D),而D中共有1+F2个向量,所以 R(D)≤F+2即乃≤F+F2 10证明R(A+B)≤R(A)+R(B) 证明:设A=(a1,a2…,an),B=(b,b2…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为a,双2,…、B1,B22…,BFT T 1 1 11 12 1 T T 2 2 21 22 2 T T 1 2 n n n n nn n n kk k kk k kk k = v e v e v e L L M M LLLL L ⬅ T 1 11 12 1 T 2 21 22 2 T 1 2 0 0 n n n n nn n kk k kk k kk k ¹Þ ¹ v v v L L M LLLL L Ҹ 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn kk k kk k kk k æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A L L LLLL L ˈ߭ⶽ䰉 A ৃ䗚 ⬅ TT T T 11 1 1 TT T T 1 22 2 2 TT T T nn n n - æö æö æö æö ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ = Þ= èø èø èø èø ve e v ve e v A A ve e v MM M M े 1 2 , ,..., n ee e 䛑㛑⬅ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ㸼⼎ˈ಴Ўӏϔ n 㓈৥䞣㛑⬅ऩԡ৥䞣 1 2 , ,..., n ee e 㒓 ᗻ㸼⼎ˈᬙӏϔ n 㓈৥䞣䛑ৃҹ⬅ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ㸼⼎. ߚܙᗻ˖Ꮖⶹӏϔ n 㓈৥䞣䛑ৃ⬅ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ㸼⼎ˈ߭ऩԡ৥䞣㒘˖ 1 2 , ,..., n ee e ৃ⬅ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ㸼⼎ˈ⬅ 8 乬ⶹ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ᮴݇. 9.䆒৥䞣㒘 A˖ 1 2 , ,..., m vv v ⱘ⾽Ў 1 r ˈ৥䞣㒘 B˖ 1 2 , ,..., uu ut ⱘ⾽Ў 2 r ˈ৥䞣㒘 C˖ 12 1 2 , ,..., , , ,..., m t vv v uu u ⱘ⾽Ў 3 r ˈ䆕ᯢ max{ , } 12 3 1 2 rr r r r £ £+ 䆕ᯢ˖䆒 A,B,C ⱘ᳔໻㒓ᗻ᮴݇㒘߿ߚЎ A¢,B¢,C ¢,৿᳝ⱘ৥䞣Ͼ᭄(⾽)߿ߚЎ 123 rrr , , ,߭ A,B,C ߿ߚϢ A¢,B¢,C ¢ㄝӋ,ᯧⶹ A,B ഛৃ⬅ C 㒓ᗻ㸼⼎,߭ R(C)ıR(A),R(C)ıR(B)ˈे max{ , } 12 3 rr r £ 䆒 A¢Ϣ B¢Ёⱘ৥䞣݅ৠᵘ៤৥䞣㒘 D,߭ AˈB ഛৃ⬅ D 㒓ᗻ㸼⼎,े C ৃ⬅ D 㒓ᗻ㸼 ⼎,Ң㗠 C ¢ৃ⬅ D 㒓ᗻ㸼⼎ˈ᠔ҹ R(C ¢)İR(D)ˈ㗠 D Ё᳝݅ 1 2 r r + Ͼ৥䞣ˈ᠔ҹ R(D)İ 1 2 r r + े 312 r rr £ + . 10.䆕ᯢ R RR ( ) () () AB A B +£ + 䆕ᯢ˖䆒 T T 12 12 ( , , , ), ( , , , ) A aa a B bb b = = L L n n Ϩ AˈB 㸠৥䞣㒘ⱘ᳔໻᮴݇㒘߿ߚЎ TT T 1 2 , ,, Į Į L Įr ǃ TT T 1 2 , ,, s ȕ ȕ L ȕ