918~0112 秩为2最大线性无关组为v,v 7设v,V2,…,v是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e,e2…,en能由它们线性表示,证 明v,V2,…,vn线性无关。 证明:由于n维单位向量e1:巳2…,en线性无关,不妨设 k1v1+k12v2+…+knvn k21V1+k2V2+…+k2nv en=kn1+kn22+…+kn k1k12…k k 所以 en k, k 两边取行列式,得 由 ≠0 即n维向量组v,V2,…,n所构成矩阵的秩为n,故v1,以2…,vn线性无关 8.设v,V2…,v是一组n维向量,证明它们线性无关的充要条件是:任一n维向量都可由 它们线性表示。 证明:设e,e2,en为一组n维单位向量,对于任意n维向量a=(k,k2,…kn) 则有a=ke1+k2e2+…+ken,即任一n维向量都可由单位向量线性表示 必要性:设2V2…,V线性无关,且v,V2…,vn能由单位向量线性表示,即 V1=k1e1+k12e2+…+kne k1k12…kn h2e,+k22e,++k2n,vik2k kne1+kn2e2+…+km knl k 两边取行列式,得(2) T 1 T 2 T 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1213 4 1 5 6 0 9 9 18 0 1 1 2 1 3 4 7 0 5 5 10 0 0 0 0 ~ ~ æ ö æ öæ öæ ö ç ÷ = --- --- ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè øè ø --- --- è ø v v v ⾽Ў 2,᳔໻㒓ᗻ᮴݇㒘Ў T T 1 2 v v, . 7.䆒 1 2 , ,..., n vv v ᰃϔ㒘 n 㓈৥䞣ˈᏆⶹ n 㓈ऩԡതᷛ৥䞣 1 2 , ,..., n ee e 㛑⬅ᅗӀ㒓ᗻ㸼⼎ˈ䆕 ᯢ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ᮴݇DŽ 䆕ᯢ˖⬅Ѣ n 㓈ऩԡ৥䞣 1 2 , ,..., n ee e 㒓ᗻ᮴݇ˈϡོ䆒˖ 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 n n n n n n n nn n kk k kk k kk k = + ++ = + ++ = + ++ evv v e vv v evv v L L LLLLLLLLLLLL L ᠔ҹ T T 1 1 11 12 1 T T 2 2 21 22 2 T T 1 2 n n n n nn n n kk k kk k kk k æö æö æ ö ç÷ ç÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ èø èø è ø e v e v e v L L M M LLLL L ϸ䖍প㸠߫ᓣˈᕫ T T 1 1 11 12 1 T T 2 2 21 22 2 T T 1 2 n n n n nn n n kk k kk k kk k = e v e v e v L L M M LLLL L ⬅ T T 1 1 T T 2 2 T T 10 0 n n =¹Þ ¹ e v e v e v M M े n 㓈৥䞣㒘 1 2 , ,..., n vv v ᠔ᵘ៤ⶽ䰉ⱘ⾽Ў nˈᬙ 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ᮴݇. 8. 䆒 1 2 , ,..., n vv v ᰃϔ㒘 n 㓈৥䞣ˈ䆕ᯢᅗӀ㒓ᗻ᮴݇ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ˖ӏϔ n 㓈৥䞣䛑ৃ⬅ ᅗӀ㒓ᗻ㸼⼎DŽ 䆕ᯢ˖䆒 1 2 , ,..., n ee e Ўϔ㒘 n 㓈ऩԡ৥䞣ˈᇍѢӏᛣ n 㓈৥䞣 T 1 2 (, , , ) n a = kk k L ˈ ᳝߭ 11 2 2 n n ae e e = + ++ kk k L ˈेӏϔ n 㓈৥䞣䛑ৃ⬅ऩԡ৥䞣㒓ᗻ㸼⼎. ᖙ㽕ᗻ˖䆒 1 2 , ,..., n vv v 㒓ᗻ᮴݇ˈϨ 1 2 , ,..., n vv v 㛑⬅ऩԡ৥䞣㒓ᗻ㸼⼎ˈे T T 1 11 1 12 2 1 11 12 1 1 1 T T 2 21 1 22 2 2 21 22 2 2 2 T T 11 2 2 1 2 nn n nn n n n n nn n n n nn n n k k k kk k k k k kk k k k k kk k = + ++ æö æö æ ö = + ++ ç÷ ç÷ ç ÷ Û = ç ÷ ç ÷ = + ++ èø èø è ø vee e v e v ee e v e vee e v e L L L L LLLLLLLLLLLL L L L L M M L L ϸ䖍প㸠߫ᓣˈᕫ