第九章 aplace变换 Laplace变换(简称拉氏变换)是常用的一种积分变换.在数学、物理及工程科学中 有广泛的应用 ·本章介绍 Laplace变换的定义及其基本性质,以及它的简单应用 1 Laplace变换 Laplace变换是一种积分变换,它把f(t)变换为F(p), F(p)=/epf(t)dt 这里的t是实数,p是复数,p=5+i,F(p)称为f(t)的 Laplace换式,简称拉氏换式,e-P 是 Laplace变换的核 通常把 Laplace变换简写为 F(p)={f(t)} 或F(p)=f(t; f(t)=2-F(p)) E f(t)=F(p) f(t)和F(p)有时也分别称为 Laplace变换的原函数和象函数 需要说明,在本章中约定:f(t)应该理解为f(t)n(t),其中 7(t) t>0 0,t< 或者说,当t<0时应该理解为∫(t)=0 例9.1函数f(t)=1的 Laplace换式为 Rep>0 这里的限制条件Rep>0是为了保证积分收敛,或者说是 Laplace变换存在的条件 例9.2函数f()=e的 Laplace换式为 这里的限制条件Rep>Rea同样是为了保证积分收敛,即 Laplace变换存在￾✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Laplace ✡ ☛ • Laplace ☞✌ (✍✎✏ ✑☞✌) ✒✓✔✕✖✗✘✙☞✌✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩ ✢✪ ✫ ✬✭✕✮✔ ✚ • ✯✰✱✲ Laplace ☞✌✕✳✴✦✵✶✯✷✸✹✺✦✻✕ ✍✼✮✔✚ §9.1 Laplace ✽ ✾ Laplace ✿❀❁❂❃❄❅✿❀✹❆❇ f(t) ✿❀❈ F(p) ✹ F(p) = Z ∞ 0 e −ptf(t) dt. ❉❊❋ t ●❍■✹ p ●❏■✹ p = s + iσ ✚ F(p) ❑▲ f(t) ❋ Laplace ▼◆✹❖❑P ◗▼◆✚ e −pt ● Laplace ❘▼❋❙✚ ❚❯❱ Laplace ❘▼❖❲▲ F(p) = ❳ {f(t)} ❨ F(p) : f(t); f(t) = ❳ −1 {F(p)} ❨ f(t) ; F(p). f(t) ❩ F(p) ❬❭❪❫❴❑▲ Laplace ❘▼❋❵❛■❩❜❛ ■✚ ❝❞❡ ❢✹ ✛ ✯✰ ✪❣✳❤ f(t) ✮✐✥❥❦ f(t)η(t) ✹ ✵ ✪ η(t) = ( 1, t > 0, 0, t < 0. ❧♠❡ ✹♥ t < 0 ♦✮✐✥❥❦ f(t) = 0 ✚ ♣ 9.1 ❛ ■ f(t) = 1 ❋ Laplace ▼◆▲ 1 ; Z ∞ 0 e −pt dt = − 1 p e −pt     ∞ 0 = 1 p , Re p > 0. ❉❊❋qrst Re p > 0 ●▲✉✈✇①❫②③✹❨④⑤● Laplace ❘▼⑥⑦❋st✚ ♣ 9.2 ❛ ■ f(t) = eαt ❋ Laplace ▼◆▲ e αt ; Z ∞ 0 e −pt · e αt dt = − 1 p e −(p−α)t     ∞ 0 = 1 p − α , Re p > Re α. ❉❊❋qrst Re p > Re α ⑧⑨●▲✉✈✇①❫②③✹⑩ Laplace ❘▼⑥⑦✚