9.1 Laplace变换 从例1和例2可以看出,由于 Laplace变换的核是e-n,所以对于相当广泛的函数f(t),其 拉氏换式都存在;甚至当t→∞,f(t)→∞时,f(t)的拉氏换式也可能存在 Laplace变换存在的条件也就是积分/erf(t)dt收敛的条件,在绝大多数实际间题中,f(t) 都能满足 1.f(t)在区间0≤t<∞中除了第一类间断点外都是连续的,而且有连续导数,在任何有限 区间中这种间断点的数目是有限的; 2.f(t)有有限的增长指数,即存在正数M>0及s′≥0,使对于任何t值(实际上,只要对于 足够大的t值) If(t)< Me' 这是 Laplace变换存在的充分条件.一般间题中遇到的函数都能满足这个要求 如果s存在的话,它一定并不唯一,因为比s大的任何正数也符合要求s的下界称为收 敛横标,记为s0§9.1 Laplace ✄ ☎ ✆ 2 ✝ ❶❷ 1 ❩ ❷ 2 ❸❹❺❻✹❼❽ Laplace ❘▼❋❙● e −pt ✹❾❹❿❽➀➁➂➃❋❛■ f(t) ✹➄ P ◗▼◆➅⑥⑦➆➇➈➁ t → ∞, f(t) → ∞ ❭✹ f(t) ❋ P ◗▼◆❪❸➉⑥⑦✚ Laplace ✿❀➊➋➌➍➎➏➐❁❄❅ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ➑➒➌➍➎✚⑦➓➔→■❍➣↔↕ ➙✹f(t) ➅➉➛➜ 1. f(t) ✛ ➝➞ 0 ≤ t < ∞ ✪➟ ➠➡✖ ➢ ➞➤➥➦➧✒➨➩✕✹➫➭✫ ➨➩➯✜ ✹ ✛➲➳✫➵ ➝➞✪➸✗ ➞➤➥✕ ✜ ➺ ✒ ✫➵✕➆ 2. f(t) ✫✫➵✕➻➼➽✜ ✹➾➚✛➪✜ M > 0 ✦ s 0 ≥ 0 ✹➶➹➘➲➳ t ➴ (➷➬➮✹➱❞➹➘ ✃❐❒✕ t ➴) ✹ |f(t)| < Me s 0 t . ❉ ● Laplace ✿❀➊➋➌❮❅➍➎✚❰Ï↔↕ ➙ÐÑ❋❛■➅➉➛➜❉ÒÓÔ✚ ÕÖ s 0 ⑥⑦❋×✹Ø❰ÙÚÛÜ❰✹Ý▲ Þ s 0 ➔ ❋ßàá■❪âãÓÔ✚ s 0 ❋äå❑▲ ➑ ➒æç ✹è▲ s0 ✚