9.2 Laplace变换的基本性质 性质1 Laplace变换是一个线性变换,即若 f1(t)=F1(p),f2(t)=F2(P a1f1(t)+a2/2(1)=a1F1(p)+a2F2(D) 这个性质很容易从 Laplace变换的定义得到,因为它只不过是积分运算的线性性质的反 映,根据这个性质,立即得到 cos wt 11 性质2 Laplace换式的解析性 如果函数f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 当s-50≥6>0时, 积分/Me-“业收敛,故/e-rft)dt在Rep≥+6中一致收敛,因而在Rep>c0的半平 面内代表一个解析函数,即F(p)在半平面Rep>so内解析 这个性质可以用来确定收敛横标s,这在求 Laplace变换的反演时是非常重要的 性质3若f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 F(p)→0,当R 证因为 FsC"osa…- 故当Rep=s→+∞时,F(p)→0.口￾✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 3 ✝ §9.2 Laplace éêëìíîï ðñ 1 Laplace ✿❀❁❂òóð ✿❀ ✹⑩ô f1(t) ; F1(p), f2(t) ; F2(p), õ α1f1(t) + α2f2(t) ; α1F1(p) + α2F2(p). ➸ö✷✸÷ø ùú Laplace ☞✌✕✳✴ûü✹ý❦✻ ➱þÿ✒✘✙￾✁✕✂✷✷✸✕✄ ☎ ✚✆✝➸ö✷✸✹✞ ➾ûü sin ωt = e iωt − e −iωt 2i ; 1 2i  1 p − iω − 1 p + iω  = ω p 2 + ω2 ; cos ωt = e iωt − e −iωt 2 ; 1 2  1 p − iω + 1 p + iω  = p p 2 + ω2 . ðñ 2 Laplace ❀✟➌✠✡ð ✚ ÕÖ❛■ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ  e −ptf(t)   < Me −(s−s0)t , s = Re p. ➁ s − s0 ≥ δ > 0 ❭✹  e −ptf(t)   < Me −δt . ①❫ Z ∞ 0 Me −δt dt ②③✹☞ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ⑦ Re p ≥ s0 + δ ➙❰✌②③✹Ý✍⑦ Re p > s0 ❋✎✏ ✑ ✒✓✔❰Ò✕✖❛ ■✹⑩ F(p) ⑦ ✎✏✑ Re p > s0 ✒✕✖✚ ➸ö✷✸✗ ✺✔✘✙✳✚✛✜✢ s0 ✹ ➸✛✣ Laplace ☞✌✕✄✤♦✒ ✥✓✦ ❞ ✕✚ ðñ 3 ô f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ F(p) → 0, ➁ Re p = s → +∞. ✧ Ý▲ |F(p)| ≤ Z ∞ 0  e −ptf(t)   dt ≤ M Z ∞ 0 e (s−s0)t dt = M s − s0 , ☞➁ Re p = s → +∞ ❭✹ F(p) → 0 ✚