59.2 Laplace变换的基本性质 实际上,由 Rieman- Lebesque定理①还可证明,当Rep=s>s时, 性质4原函数的导数的 Laplace变换.设f(t)及f'(t)都满足 Laplace变换存在的充分条 件,f(t)=F(P),则因为 (p)-f(0), 所以 f(t)=pF(p)-f(0) 因此,对原函数∫(t)的微商运算就转化为对象函数F{p)的乘法运算,而且还自动包括 了∫()的初值.正因为这个特点,所以 Laplace变换方法是求解微分方程的一种重要方 样,只要f(t),f(t),f"(t),…,fm(t)都满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p) f"(t)=p2F(p)-pf(0)-f(0), f(3)(t)=p3F(p)-p2f(0)-pf(0)-f”(0) 图9.1 ① Riemann- Lebesque定理的内容是:如果函数f(t)在区间a≤t≤b上分段连续,则 f(t)sin wt dt=0, f(t)cost dt=0.§9.2 Laplace ✄☎★✩✪✫✬ ✆ 4 ✝ ❍➣✭✹❼ Riemann–Lebesque Ù✮ ✯ ✰❸✇ ✱✹➁ Re p = s > s0 ❭✹ lim Im p→±∞ F(p) = 0. ðñ 4 ✲✳✴➌✵✴➌ Laplace ✿❀ ✚✶ f(t) ✷ f 0 (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ s t ✹ f(t) ; F(p) ✹ õ Ý▲ Z ∞ 0 f 0 (t) e−pt dt = f(t) e−pt    ∞ 0 + p Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = pF(p) − f(0), ❾❹ f 0 (t) ; pF(p) − f(0). ý✸ ✹➹✹✺✜ f(t) ✕✻✼￾✁✽✾✿❦➹❀✺✜ F(p) ✕❁❂￾✁✹➫➭❃ ❄❅ ❆❇ ➠ f(t) ✕❈➴✚ ➪ ý❦➸ö❉➥ ✹ ❊ ✺ Laplace ☞✌❋❂✒ ✣❥ ✻✙❋ ★ ✕✖✗✦ ❞ ❋ ❂✚ ⑧⑨✹●Ó f(t), f0 (t), f00(t), · · · , f(n) (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ f 00(t) ; p 2F(p) − pf(0) − f 0 (0), f (3)(t) ; p 3F(p) − p 2 f(0) − pf0 (0) − f 00(0), . . . f (n) (t) ; p nF(p) − p n−1 f(0) − p n−2 f 0 (0) − · · · − pf(n−2)(0) − f (n−1)(0). ❍ 9.1 ✯ Riemann–Lebesque ■❏❑▲▼◆❖P◗❘❙ f(t) ❚❯❱ a ≤ t ≤ b ❲❳❨❩❬❭❪ lim ω→∞ Z b a f(t) sinωt dt = 0, lim ω→∞ Z b a f(t) cos ωt dt = 0