+(-0.04)2+(9+18n9)(004)0.03+81/2ln2(9)-0.032 ≈8574。 7.设f(x,y)在R2上可微。l与l2是R2上两个线性无关的单位向量(方 向)。若 (x,y)≡0,i=1,2, l 证明:在R2上f(x,y)=常数 证设l=(cosa,sina),l2=(cosa2sina2)。由于f(x,y)在R2上可微, f (x, y)=f(x, y)cosa,+f(x, y)sina,=0 (,y)=f(x, y)cos a,+f(x, y)sina,=0 因为与l2线性无关,所以 0a4sna|≠0, 因此上面的线性方程组只有零解,即 (x,y)≡0,J(x,y)=0。 于是由推论12.3.1知道f(x,y)≡常数。 8.设f(x,y)=sn2(x≠0),证明 f(x,y)≡0,k≥1。 证因为 所以当k>1时成立 f(x,y)=x2 2 +(-0.04) +(9+18ln9)⋅ ⋅ (-0.04) 0.03+81/2⋅ln (9)⋅0.032 ≈85.74。 7．设 f (x, y)在 2 R 上可微。l1与l2 是 2 R 上两个线性无关的单位向量（方 向）。若 ( , ) ≡ 0 ∂ ∂ x y l f i ， i = 1,2 ， 证明：在 2 R 上 f (x, y) ≡ 常数。 证 设 1 1 1 l = (cosα ,sinα ) 2 2 2 (cos ,sin )。由于 f (x, y)在 2 ，l = α α R 上可微， 1 1 1 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ ， 2 2 2 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ 。 因为l1与l2 线性无关，所以 1 1 2 2 cos sin 0 cos sin α α α α ≠ ， 因此上面的线性方程组只有零解，即 ( , ) 0 x f x y ≡ ， ( , ) 0 y f x y ≡ 。 于是由推论 12.3.1 知道 f (x, y) ≡ 常数。 8．设 x y f (x, y) = sin （ x ≠ 0），证明： ( , ) ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f x y y y x x k ，k ≥ 1。 证 因为 2 1 ( , ) cos cos 0 y y y x y f x y x y x y x x x x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⋅ ≡ , 所以当k >1时成立 ( , ) k x y f x y x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∂ 1 ( , ) 0 k x y x y f x y x y x y − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ≡ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ 。 3