特征值基础训练 判断题 1.设a,B是属于线性变换φ同一特征值Ao的两个特征向量,且a≠B,则aa+b3 也是φ的特征向量,其中a,b不同时为零.( 2.设A是n阶方阵,a1,…,an分别是A的属于互异特征值入1,……,An的特征向 量,则k1a1+…+knn(k1,…,kn不全为零)为A的全部特征向量.( 3.设φ是数域K上的n维向量空间的线性变换,p的不同特征值为入1,……,A,对 应的特征子空间分别为V1,…,VA,则p可对角化的充要条件是∑1dim1=n.() 4.2阶方阵彼此相似当且仅当它们的极小多项式相同.() 5.数域K中任意数都是K上线性空间V的零变换的特征值.() 6.若|I-A=|I-B,A可对角化,则B也可对角化.() 7.若λ是Ⅴ上线性变换φ的特征值,则入作为特征多项式的重数不超过特征子空间V入 的维数 8.设φ是数域K上的n维线性空间的线性变换,如果V的任意一个一维子空间都 是φ-不变子空间,则φ可对角化.() 9.n阶方阵A为可逆阵的充要条件是A的特征值全不为零.( 10.设A,B是n阶方阵,则AB与BA相似.( 填空题 1.设三阶方阵A的特征值为A1,A2,A3且两两互异,对应的特征向量依次为a1,a2,a3 则A= 000 2.设A=x1y,B=010.则当x= y 1y1 002 时,A与B相似 3.设可道短阵A=(0 a20)∈M2(R),则A在R上可对角化的充要条件是 4.设A为三阶方阵,且|-4|=A3+22-A-2,则A相似于矩阵 5.设|4=0,B+A=21,则矩阵B有一个特征值 6.已知A满足A2+2A+I=0,则A的特征值为￾✁✂✄☎✆✝ ✞✟✠✡☛ 1. ☞ α, β ✌✍✎✏✑✒✓ ϕ ✔✞✕✖✗ λ0 ✘✙✚✕✖✛✜✢✣ α 6= β, ✤ aα + bβ ✥ ✌ ϕ ✘✕✖✛✜✢✦✧ a, b ★✔✩✪✫✟ ( ) 2. ☞ A ✌ n ✬✭✮✢ α1, · · · , αn ✯✰✌ A ✘✍✎✱✲✕✖✗ λ1, · · · , λn ✘✕✖ ✛ ✜✢✤ k1α1 + · · · + knαn(k1, · · · , kn ★✳✪✫) ✪ A ✘✳✴✕✖✛✜✟ ( ) 3. ☞ ϕ ✌✵✶ K ✷✘ n ✸✛✜✹✺ V ✘✏✑✒✓✢ ϕ ✘★✔✕✖✗✪ λ1, · · · , λt , ✻ ✼ ✘✕✖✽✹✺✯✰✪ Vλ1 , · · · , Vλt , ✤ ϕ ✾✻✿❀✘❁❂❃❄✌ Pt i=1 dimVλi = n. ( ) 4. 2 ✬✭✮❅❆❇❈❉✣❊❉❋●✘❍■❏❑▲❇✔✟ ( ) 5. ✵✶ K ✧▼◆✵❖✌ K ✷✏✑✹✺ V ✘✫✒✓✘✕✖✗✟ ( ) 6. P |λI − A| = |λI − B|, A ✾✻✿❀✢ ✤ B ✥ ✾✻✿❀✟ ( ) 7. P λ ✌ V ✷✏✑✒✓ ϕ ✘✕✖✗✢ ✤ λ ◗✪✕✖❏❑▲✘❘✵★❙❚✕✖✽✹✺ Vλ ✘✸✵ ( ). 8. ☞ ϕ ✌✵✶ K ✷✘ n ✸✏✑✹✺ V ✘✏✑✒✓✢❯❱ V ✘ ▼◆✞ ✚✞✸✽✹✺❖ ✌ ϕ- ★✒✽✹✺✢✤ ϕ ✾✻✿❀✟ ( ) 9. n ✬✭✮ A ✪✾❲✮✘❁❂❃❄✌ A ✘✕✖✗✳★✪✫✟ ( ) 10. ☞ A, B ✌ n ✬✭✮✢ ✤ AB ❳ BA ❇❈✟ ( ) ❨✟❩✹☛ 1. ☞❬✬✭✮ A ✘✕✖✗✪ λ1, λ2, λ3 ✣ ✙✙✱✲✢ ✻ ✼ ✘✕✖✛✜❭❪✪ α1, α2, α3, ✤ A = . 2. ☞ A =   1 x 1 x 1 y 1 y 1  ,B =   0 0 0 0 1 0 0 0 2  . ✤❉ x = , y = ✩ ✢ A ❳ B ❇❈✟ 3. ☞✾❲❫✮ A =  0 a1 a2 0  ∈ M2(R), ✤ A ❴ R ✷✾✻✿❀✘❁❂❃❄✌ . 4. ☞ A ✪❬✬✭✮✢✣ |λI − A| = λ 3 + 2λ 2 − λ − 2, ✤ A ❇❈✎❫✮ . 5. ☞ |A| = 0, B + A = 2I, ✤❫✮ B ❵✞ ✚✕✖✗ . 6. ❛ ❜ A ❝❞ A2 + 2A + I = 0, ✤ A ✘✕✖✗✪ . 1