自动控制原理电子教案 状态方程H(x,,A) (9.16) 伴随方程= aH(,u, 1, 1) (9.17) 控制方程 aH(x, u, 1, 0) (9.18) 横截条件 (tr)= ae[x(t ) (9.19) 联立求解上述正则方程和控制方程,就可求得性能指标达到极值时的最优 控制u*(t)、最优状态轨线x*()及最优协态轨线λ*()。 例9.1已知系统的状态方程为 )=u(t) 初始条件为 x(0)=x0 求最优控制u*(t),使性能指标 为最小。 解本题为tr给定、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束, 所以,可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H(x,u, A 由伴随方程(9.17)得 ah a u*+Au)=0 因此,A=常数。由横截条件(9.19)得 ae[x(t) cx(t)]=cx(tr) x(t 由控制方程(9.18)得 将u*代入状态方程,得 -cx(ty) 上面这个微分方程的解为 tr时,有 x()=-cx(tr-0)+x(0) 所以 x(0) 最优控制为 (t 1+c(r-t0) 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 3 状态方程 λ λ ∂ ∂ = H(x, u, ,t) x& (9.16) 伴随方程 x H x u t ∂ ∂ = − ( , , λ, ) λ & (9.17) 控制方程 0 ( , , , ) = ∂ ∂ u H x u λ t (9.18) 横截条件 ( ) [ ( )] ( ) f f f x t x t t ∂ ∂ = θ λ (9.19) 联立求解上述正则方程和控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优 控制u *(t) 、最优状态轨线 x*(t) 及最优协态轨线λ *(t) 。 例 9.1 已知系统的状态方程为 x&(t) = u(t) 初始条件为 0 0 x(t ) = x 求最优控制u *(t) ，使性能指标 ∫ = + f t t f J cx t u dt 0 2 2 2 1 ( ) 2 1 ， c > 0 为最小。 解 本题为 f t 给定、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束， 所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H x u λ t = u + λu 2 2 1 ( , , , ) 由伴随方程(9.17)得 ) 0 2 1 ( 2 + = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − u u x x H λ & λ 因此，λ = 常数。由横截条件(9.19)得 ， ( )] ( ) 2 1 [ ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 f f f f f f cx t cx t x t x t x t t = ∂ ∂ = ∂ ∂ = θ λ 由控制方程(9.18)得 = + = 0 ∂ ∂ u λ u H 即 * ( ) f u = −λ = −cx t 将u * 代入状态方程，得 ( ) f x&= u = −cx t 上面这个微分方程的解为 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 x t cx t t t x t = − f − + 当 f t = t 时，有 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 x t cx t t t x t f = − f f − + 所以 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 c t t x t x t f f + − = 最优控制为 1 ( ) ( ) * ( ) 0 0 c t t cx t u cx t f f + − = − = −