自动控制原理电子教案 由本例的性能指标形式可知,性能指标只存在极小值,所以,最优控制 *()将使性能指标为最小。因此最优性能指标为 2 to) 2[+c(t -to)I =21+qu -lo 2.t给定,终端约束 设终端约束为 Mx(n),t]=Mx(t)]=0 (9.20) 式中,M∈R,即终端状态x()可沿规定的边界曲线移动。构造增广泛函Ja 为 J=明x()+Mx()+1(xx)+2Uf(x2x)-得}山 =Ox(r)+yMx()+[H(x2,D-(9.21) 式中,v∈R。对增广泛函J取一阶变分并令其为零,经过与上面类似的推导 得 a0 aM d,= +(H++(H8+(.-8队k=D(9.2 由于上式中b8(r),a,b和都是任意的,并且相互独立,所以增广性能 指标泛函Ja的一阶变分为零,即最优控制问题(9.7),(9.8)取极值的必 要条件为 正则方程 状态方程 aH(, u, a, 1) (9.23) 伴随方程心H(x,,A,1) (9.24) 控制方程 aH(x,u, a, 1) 0 (9.25) 边界条件 x(t0)=x0 MIx(t]=0 横截条件 06(x)OM(x) (9.27) 例9.2已知系统的状态方程为 4()=x2( k(1)=-x2(t)+u() 初始条件为 x1(0)=0 x2(0)=0 终端约束条件为 x1(2)+5x2(2)=15 求最优控制u*(t),使性能指标 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 4 由本例的性能指标形式可知，性能指标只存在极小值，所以，最优控制 u *(t) 将使性能指标为最小。因此最优性能指标为 ∫ = + f t t f J cx t u dt 0 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) [1 ( )] ( ) 2 1 [1 ( )] ( ) 2 1 0 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 c t t cx t t t c t t c x t c t t cx t f f f f + − = − + − + + − = 2. f t 给定，终端约束 设终端约束为 M[x(t f ),t f ] = M[x(t f )] = 0 (9.20) 式中， q M ∈ R ，即终端状态 ( ) f x t 可沿规定的边界曲线移动。构造增广泛函 a J 为 ∫ = + + + − f t t T f T a f J x t v M x t L x u t f x u t x dt 0 θ[ ( )] [ ( )] { ( , , ) λ [ ( , , ) &]} ∫ = + + − f t t T f T f x t v M x t H x u t x dt 0 θ[ ( )] [ ( )] [ ( , , λ, ) λ &] (9.21) 式中， q v ∈ R 。对增广泛函 a J 取一阶变分并令其为零，经过与上面类似的推导， 得 [( ) ( ) ( ) ] 0 ( ) 0 ∫ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = = f f t t T T T t t T T a x dt H u u H x x H v x x M x J δλ λ λ δ δ λ δ θ δ & & (9.22) 由于上式中 x( ) f δ t ，δx ，δu 和δλ 都是任意的，并且相互独立，所以增广性能 指标泛函 a J 的一阶变分为零，即最优控制问题（9.7），（9.8）取极值的必 要条件为 正则方程 状态方程 λ λ ∂ ∂ = H(x, u, ,t) x& (9.23) 伴随方程 x H x u t ∂ ∂ = − ( , , λ, ) λ & (9.24) 控制方程 0 ( , , , ) = ∂ ∂ u H x u λ t (9.25) 边界条件 0 0 x(t ) = x M[x(t f )] = 0 (9.26) 横截条件 f t t T f v x M x x x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ) ] ( ) ( ( ) ( ) [ θ λ (9.27) 例 9.2 已知系统的状态方程为 ( ) ( ) 1 2 x& t = x t ( ) ( ) ( ) 2 2 x& t = −x t + u t 初始条件为 x1 (0) = 0 x2 (0) = 0 终端约束条件为 x1 (2) + 5x2 (2) = 15 求最优控制u *(t) ，使性能指标