x(2)-52+{x2(2)-212+[an2() 为最小 解本题为tr给定、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束, 所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 +(A1-A2)x2 1(2)+5x2(2)-15=0 由于 ()=x2( 唇 A1(1)= ax n2(0) +A,=0 l(t)=-2()=-c2e′ 所以 x2(1)= ce -Cl 由初始条件x1(0)=0,x2(O)=0,得 0 因为 x1(2)=-c3e 由横截条件得 M A1(2)=x1(2)-5+v ax,(t)ax(tr) aM A2(t) 2(t,)ax2(r) 将x1(2)和x2(2)代入上式,得 5 求解以c1,C2,c3,C4和y作为未知数的联立方程组 -c1-0.5c2+c3=0 CA=15 3c1-0.5e2c2 浙江工业大学自动化研究自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 5 ∫ = − + − + 2 0 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1 J x x u t dt 为最小。 解 本题为 f t 给定、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束， 所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H u x u 1 2 2 2 2 ( ) 2 1 = + λ − λ + λ 2 2 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1 θ = x − + x − M = x1 (2) + 5x2 (2) −15 = 0 由于 ∂λ ∂ = H x& ， ( ) ( ) 1 2 x& t = x t ， ( ) ( ) ( ) 2 2 x& t = −x t + u t 0 1 1 = ∂ ∂ = − x H λ & ， 1 1 λ (t) = c 2 1 2 λ 2 = λ − λ ∂ ∂ = − x & H ， 2 2 1 (t) c e c t λ = + = + 2 = 0 ∂ ∂ u λ u H ， 2 2 1 u(t) (t) c e c t = −λ = − − 所以 2 3 2 1 2 1 x (t) c e c e c t t = − − − 1 3 2 1 4 2 1 x (t) c e c e c t c t t = − − − + − 由初始条件 x1 (0) = 0， x2 (0) = 0 ，得 −0.5c2 − c3 + c4 = 0 −c1 − 0.5c2 + c3 = 0 因为 1 4 2 2 2 1 3 2 2 1 x (2) = −c e − c e − c + c − 1 2 2 2 2 3 2 1 x (2) = c e − c e − c − 由横截条件得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f f f f v t x t M x t t ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ 1 1 5 1 λ (2) = x (2) − + v = c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f f f f v t x t M x t t ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ 2 2 2 2 5 1 2 λ (2) = x (2) − + v = c + c e 将 (2) 1x 和 (2) 2 x 代入上式，得 3 0.5 3 4 5 2 2 2 − 1 − − + + = − c e c e c c v 2 1.5 3 5 2 2 2 2 − 1 − + + = − c e c e c v 求解以c c c c 和v 1 2 3 4 , , , 作为未知数的联立方程组 −0.5c2 − c3 + c4 = 0 −c1 − 0.5c2 + c3 = 0 7 3 4 3 4 15 2 2 2 − 1 − + + = − c e c e c c 3 0.5 3 4 5 2 2 2 − 1 − − + + = − c e c e c c v