自动控制原理电子教案 2c1-1.5ec2+ec3+5v=2 可得c1=-073,c2=-0.13。则所求最优控制为 n*()=073+1.3e=0.7(+0.18e) 3.tr自由,终端约束 设终端约束为式(9.20)。同样构造增广泛函J为 J=x(r)+Mx()7+「[H(x2,0- (9.28) 将式(9.28)与式(9.21)比较可以看出,式(9.28)除了tr自由外,与式(9.21) 完全相同,因而所推导出的结果除了因ar是任意的而增加一个终端边界条件 方程外,其余结果完全相同。最优控制问题(9.7),(9.8)取极值的必要条 件为 正则方程 状态方程 OH(,u, 4, 1) (9. 29) 伴随方程 aH(, u, 1,1) (9.30) 控制方程 aH(,u,A,t) (9.31) 边界条件与横截条件x(0)=x Mlr(r),t,]=0 (9.32) A(r)=[+()v (9.33) [H(x, u, a, 1) 例9.3已知系统的状态方程为 t=u(t) 初始条件为x(0)=x0,终端时刻tr自由,终端约束条件为x(r)=co(常数), 求最优控制u*()和x*(t),使性能指标 J=[(x2+)d 为最小。 解本题为t自由、终端受约束的可动边界最优控制问题。由于控制变量 不受约束,所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H(x,u,.,D)=x2+&+A=x2+u2+Mn 伴随方程为 控制方程为 2u+A=0 由伴随方程和控制方程得 代入状态方程得 解上面的二阶微分方程得 x=ce +c2 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 6 2 1.5 3 5 2 2 2 2 − 1 − + + = − c e c e c v 可得c1 = −0.73 ，c2 = −0.13 。则所求最优控制为 *( ) 0.73 1.3 0.73(1 0.18 ) t t u t = + e = + e 3. f t 自由，终端约束 设终端约束为式（9.20）。同样构造增广泛函 a J 为 ∫ = + + − f t t T f f T a f f J x t t v M x t t H x u t x dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ] [ ( , , λ, ) λ &] (9.28) 将式（9.28）与式（9.21）比较可以看出，式（9.28）除了 f t 自由外，与式（9.21） 完全相同，因而所推导出的结果除了因 f δt 是任意的而增加一个终端边界条件 方程外，其余结果完全相同。最优控制问题（9.7），（9.8）取极值的必要条 件为 正则方程 状态方程 λ λ ∂ ∂ = H(x, u, ,t) x& (9.29) 伴随方程 x H x u t ∂ ∂ = − ( , , λ, ) λ & (9.30) 控制方程 0 ( , , , ) = ∂ ∂ u H x u λ t (9.31) 边界条件与横截条件 0 0 x(t ) = x M[x(t f ),t f ] = 0 (9.32) f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) = [ ( ) ] θ λ (9.33) [ ( , , , ) ] = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = f t t T t M v t H x u t θ λ (9.34) 例 9.3 已知系统的状态方程为 x&(t) = u(t) 初始条件为 0 x(0) = x ，终端时刻 f t 自由，终端约束条件为 0 x(t ) c f = （常数）， 求最优控制u *(t) 和 x*(t) ，使性能指标 ∫ = + f t J x x dt 0 2 2 ( & ) 为最小。 解 本题为 f t 自由、终端受约束的可动边界最优控制问题。由于控制变量 不受约束，所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H x u λ t = x + x + λu = x + u + λu 2 2 2 2 ( , , , ) & 伴随方程为 λ &= −2x 控制方程为 2u + λ = 0 由伴随方程和控制方程得 x = u& 代入状态方程得 &x&= x 解上面的二阶微分方程得 t t x c e c e = 1 + 2 −