的解，其中P(x)是次数不超过n一1的n维向量值多项式，且不恒等于零.从而有 llxo(t)ll eIP(t)ll 如果a≥0，则有 gx=meIP(≥mIPe=o. 矛盾.从而必有a<0.证毕. 五(12分)易于计算得 (t)=ef a(s)ds 是原方程的一个非零解。 又 tT)a()dfi aLays+iaads =efi aael alods =o(t)e ads b=号a4a 及 Q(t)=o(t)e-th. 则在变换x=Q()y下，原方程告=a(①x可化为 六(12分) 由解析二阶齐次线性微分方程解的理论得，原方程有形如 )-∑ n= 的解，其中G是待定的常数。 将(x)的表达式代入原方程得 nn-1-2-2x∑nr-1-2∑r=0 m=2 n=0 n=0 整理得 >[(n+2)(n+1)c+2-2(n+1)cn]x”=0 0 6), Ÿ• P(x) ¥gÍÿáL n − 1  n ëï˛äıë™, Öÿðu". l k kx0(t)k = e αtkP(t)k XJ α ≥ 0, Kk lim t→∞ kx0(t)k = lim t→∞ e αtkP(t)k ≥ lim t→∞ kP(t)k = ∞. gÒ. l 7k α < 0. y.. £12©§¥uOé φ(t) = e R t 0 a(s)ds ¥êßòáö")" q φ(t + T) = e R t+T 0 a(s)ds = e R t 0 a(s)ds+ R t+T t a(s)ds = e R t 0 a(s)dse R T 0 a(s)ds = φ(t)e R T 0 a(s)ds . - b = 1 T Z T 0 a(s)ds 9 Q(t) = φ(t)e −tb . K3CÜ x = Q(t)y eßêß dx dt = a(t)x åzè dy dt = by. 8£12©§ d)¤‡gÇ5á©êß)nÿßêßk/X y(x) = X∞ n=0 cnx n , )ߟ• cn ¥ñ½~Í" Ú y(x) Là™ì\êß X∞ n=2 cnn(n − 1)x n−2 − 2x X∞ n=0 cnnxn−1 − 2 X∞ n=0 cnx n = 0 n X∞ n=0 [(n + 2)(n + 1)cn+2 − 2(n + 1)cn]x n = 0 6