从而齐次方程有基本解组 1(c)=e-2x,2()=e 它们的Wronsky行列式为 W(x)=e-3 所以原方程有通解 yl国)=cea+e+e-a广=ef包ds+e=∫e-2fls e-38 e-38 =ae-2a+ae-e2广e2产f)s+e- Jo )ds, 其中1，C2是任意常数. 显然有 ge-24=0,ime-0. 又由洛必达可证 典产o地-典1o地典2-票a=0 e2红 畏cs=果5eo地典-黑阳=0 er 故有 ）=0. 四(12分) 充分性.原方程有基解矩阵.从而原方程的任一个解都可以表示成 x()=eav,v∈R". 由假设知，A的所有的特征根都具有负实部，故存在a,P>0使得 Ilx()=Iev≤ae~Ilvl 其中v‖=√保+…+隔.所以有 Ix)=0. 必要性.设0=α+B是A的一个特征根.则原方程有形如 xo(t)=eMP(t), l ‡gêßkƒ)| φ1(x) = e −2x , φ2(x) = e −x . ßÇ Wronsky 1™è W(x) = e −3x . §±êßkœ) y(x) = c1e −2x + c2e −x + e −2x Z x 0 −e −s f(s) e −3s ds + e −x Z x 0 e −2s f(s) e −3s ds = c1e −2x + c2e −x − e −2x Z x 0 e 2s f(s)ds + e −x Z x 0 e s f(s)ds, Ÿ• c1, c2 ¥?ø~Í. w,k limx→∞ e −2x = 0, limx→∞ e −x = 0. qd‚7àåy limx→∞ e −2x Z x 0 e 2s f(s)ds = limx→∞ R x 0 e 2s f(s)ds e 2x limx→∞ e 2x f(x) 2e 2x = limx→∞ 1 2 f(x) = 0, limx→∞ e −x Z x 0 e s f(s)ds = limx→∞ R x 0 e s f(s)ds e x limx→∞ e x f(x) e x = limx→∞ f(x) = 0. k limx→∞ y(x) = 0. o£12©§ ø©5. êßkƒ)› e tA. l êß?òá)—å±L´§ x(t) = e tAv, v ∈ R n . db, A §kAä—‰kK¢‹, 3 a, ρ > 0 ¶ kx(t)k = ke tAvk ≤ ae−ρtkvk Ÿ• kvk = p v 2 1 + . . . + v 2 n . §±k lim t→∞ kx(t)k = 0. 7á5.  λ0 = α + iβ ¥ A òáAä. Kêßk/X x0(t) = e λtP(t), 5