Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D Q. Dai, 2003 广t|(+)dt b, 即平移了b后再伸缩了s倍。而在频率上,有 广ub()d 1 s 从而它们的平均宽度分别满足 (o2)2 ∫(t-)2losb(t)2dt ∫(t-(su+b)21(=2)dt (o5)2 5)2 sw(sw 由于01.08=01,0,所以 Heisenberg盒子的面积保持不变。但它们的形状随着s的变化而 变化。这是与窗口 Fourier变换不相同的地方 我们现在考虑小波变换 定义:设v为母小波.∫∈L2(R),定义它的小波变换为 (Wf)(s, b)=(, s, b) ∫f(t)sb(t)dt 利用 Plancherel公式,小波变换也可以在频率域内写为 (Wf)(s, b) 我们一般要求小波函数在时域与频域都有良好的局部性,例如,紧支集、指数衰减等。 我们考察在尺度s,位置b的小波变换,在时域与频域从函数∫所抽取得信息Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 3 u s = 1 kψs,bk 2 R +∞ −∞ t|ψs,b(t)| 2 dt = 1 kψk 2 R +∞ −∞ t 1 s ¯ ¯ψ( t−b s ) ¯ ¯ 2 dt = su + b, 即平移了b后再伸缩了s倍。而在频率上，有 ξ s = 1 2πkψs,bk R +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ψˆ s,b(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 2πkψk 2 R +∞ −∞ ωs ¯ ¯ ¯ψˆ(sω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 s 1 2πkψk 2 R +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = ξ s 从而它们的平均宽度分别满足 (σ s t ) 2 = 1 kψs,bk 2 R (t − u s ) 2 |ψs,b(t)| 2 dt = 1 kψk 2 R (t − (su + b))2 1 s ¯ ¯ψ( t−b s ) ¯ ¯ 2 dt = s 2 (σt) 2 和 (σ s ω ) 2 = 1 kψs,bk 2 R (ω − ξ s ) 2 ¯ ¯ ¯ψˆ s,b(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 kψk 2 R (ω − ξ s ) 2 s ¯ ¯ ¯ψˆ(sω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = (σω) 2 s 2 . 由于σ s t .σs ω = σt .σω，所以Heisenberg盒子的面积保持不变。但它们的形状随着s的变化而 变化。这是与窗口Fourier变换不相同的地方。 我们现在考虑小波变换。 定义：设ψ为母小波. f ∈ L 2 (R)，定义它的小波变换为 (W f) (s, b) = hf, ψs,bi = R R f(t)ψs,b (t)dt = R R f(t)√ 1 |s| ψ ¡ t−b s ¢ dt. 利用Plancherel公式，小波变换也可以在频率域内写为 (W f) (s, b) = 1 2π Z R ˆf(ω) p |s|ψˆ (sω)e ibωdω. (4) 我们一般要求小波函数在时域与频域都有良好的局部性，例如，紧支集、指数衰减等。 我们考察在尺度s，位置b的小波变换，在时域与频域从函数f所抽取得信息