(x,Mk)=x2+x2+( 用解析法可求得无约束最优解为 采用 Hestenes乘子法,则由 0(x,)=x2+x2+(x1+x2-1)2+(x1 可得 ,2 其中+=2+M4( k≥0 选取M4=0.1×2,=0,所得结果见下表: x2(罚函数法 (乘子法 0(0071402142)00714,0.2142) 10.11l,0.3330.1507,04523) 2(0.153804615)0211806355 3k(0.19040.5714)(0.2409,0.7227 4(02162,06486)(02487,0.7463) 5(02318,06959)(0.24990.7497) 6(0.2406,0.7218(0.2499,0.7499) 15(0.2499,0.7499) 从表中可见x接近x*比x接近x*的速度快得多,用乘子法迭代6次就达到了罚函数法迭代15 次的结果。这里罚参数在罚函数中要增大到M5=32768,而在乘子法中只要增大到M6=6.4, 相比之下乘子法不需要过份地增大罚参数,从而改进了罚函数法 1973年, Rockfellar将乘子法推广到解不等式约束的优化问题: f( S.g1(x)≤0,i=1 其中∫,g;(=1,…m):Rn→>R 求解它的办法是引入松驰变量y:(=1…m)将不等式约束化为等式约束 g(x)+y2=0 (16) 然后再利用前面讲述的等式约束最优化问题的结果。这时(14)式具形式197 2 2 1 2 2 6 2 2 1 2 1 1 min F(x,M ) = x + x + (x + x −1) Mk k x 用解析法可求得无约束最优解为 ( ) T M M M k M k k k k x 1 4 3 1 4 , = + + 采用 Hestenes 乘子法，则由 min ( , ) ( 1) ( 1) 1 2 2 2 1 2 2 6 2 2 1 2 1 1 x = x + x + x + x − + x + x − M k x k    可得 ( ) T M M M k M k k k k k k x 1 4 3( 1 4 , + − + − =   ） 其中 ( 1) 1 2 1 = + + − + k k k k k   M x x k  0 选取 0.1 2 , 0 0 =   = k M k ，所得结果见下表：    (0.2499 0.7499) (0.2499 0.7497) (0.2487 0.7463) (0.2409 0.7227) 0.2118 0.6355) 0.1507 0.4523) 0.0714 0.2142) (0.2499 0.7499 (0.2406 0.7218 (0.2318 0.6959 (0.2162 0.6486) (0.1904 0.5714) (0.1538 0.4615) 0.1111 0.3333) 0.0714 0.2142 ( 15 6 5 4 3 2 1 0 ， ， ， ， （ ， （ ， （ ， （乘子法） ， ） ， ） ， ） ， ， ， （ ， （ ， ） k 罚函数法） k k x x 从表中可见 k x 接近 x*比 k x 接近 x*的速度快得多，用乘子法迭代 6 次就达到了罚函数法迭代 15 次的结果。这里罚参数在罚函数中要增大到 M15 = 3276.8 ，而在乘子法中只要增大到 M6 = 6.4， 相比之下乘子法不需要过份地增大罚参数，从而改进了罚函数法。 1973 年，Rockfellar 将乘子法推广到解不等式约束的优化问题：    st g x  i = m f x i . . ( ) 0, 1, , min ( )  （15） 其中 f , gi (i =1, m): Rn → R 求解它的办法是引入松弛变量 y (i 1, m) i =  将不等式约束化为等式约束, gi (x) yi 0 i 1, ,m + 2 = =  (16) 然后再利用前面讲述的等式约束最优化问题的结果。这时（14）式具形式