V,(x2,1)=V(x)+∑xvh(x)=0 这证明是与x4=x*对应的 Lagrange乘子 迭代应以(x)<结束。若才收敛慢,可适当增大M,即将(13)中的M换成M=aM, a≥1。这样,用上述乘子法去求解(1)的迭代步骤为: 1°给定初始点x,初始乘子向量(可取x=0),计算精度E>0,取M1>0,a∈[2,10],令 2°以x为初始点,求解mn(x,2)得解x,其中min(x,4)由(12)确定 若 <E,计算结束,取x为(1)的最优解,否则,令M=aM-1,转到第4步 计算 +Mh,(x2),j=1…, 令k=k+1,返回第一步 上述方法是 Hestenes于1969年提出来的,故称为 Hestenes乘子法。几乎同时, Powell t提出 种乘子法,它定义的增广目标函数为: F(x,o,a)=f(x)+2oth,(x)+a12 如果在上式中取=号和a1=%,则F(x,,a)只比q(x,2)多出与x无关的一个项,故两者 本质一致。 在一定条件下,可证迭代程序至少是线性收敛的。实际计算表明,随着罚参数M的增大乘子法 产生的点列比罚函数法F(x,M)=f(x)+M∑,x)2产生的点列更快地接近x,因而乘子法 般可避免因罚参数过于增大带来的数值困难 例3考察m{x2+xx1+x2=依次用罚函数和乘子法建立x'=(025075)7的选代点列 采用罚函数法,由 196196 =  =  +  = l j j k j k k x x f x h x 1 * *  ( , ) ( )  ( ) 0 这证明 k  是与 k x =x*对应的 Lagrange 乘子。 迭代应以 ( )   k h x 结束。若 k  收敛慢，可适当增大 M，即将（13）中的 M 换成 Mk= Mk-1,   1。这样，用上述乘子法去求解（1）的迭代步骤为： 1° 给定初始点 。 x ，初始乘子向量 （可取 1  1 = 0）， 计算精度   0 ，取 M1  0， [2,10] ，令 k=1。 2° 以 k−1 x 为初始点，求解 min ( , ) k  x  得解 k x ，其中 min (x,) 由（12）确定。 3° 若 ( )   k h x ，计算结束，取 k x 为（1）的最优解，否则，令 Mk= Mk-1,转到第 4 。步。 4° 计算 M h x j l k k j k j k j ( ), 1, ,  +1 =  + =  令 k=k+1，返回第一步。 上述方法是 Hestenes 于 1969 年提出来的，故称为 Hestenes 乘子法。几乎同时，Powell 也提出 一种乘子法，它定义的增广目标函数为： = = + + l j j j j F x f x h x 1 2 ( ,,) ( )  [ ( )  ] 如果在上式中取 2 M  j = 和 j M  j  = ，则 F(x,,)只比（x,) 多出与 x 无关的一个项，故两者 本质一致。 在一定条件下，可证迭代程序至少是线性收敛的。实际计算表明，随着罚参数 Mk 的增大乘子法 产生的点列比罚函数法 = = + l j j F x M f x M h x 1 2 ( , ) ( ) [ ( )] 产生的点列更快地接近 x*，因而乘子法一 般可避免因罚参数过于增大带来的数值困难。 例 3 考察 min  1 2 1 2 6 2 2 1 2 1 1 x + x x + x = 。依次用罚函数和乘子法建立 T x (0.25,0.75) * = 的迭代点列 k x 和 k x 。 采用罚函数法，由