教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 1.教学内容 利用实数的无限小数表示,证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界 即最小上界与最大下界 2.指导思想 (1) Newton, Leibniz建立微积分以来,它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家,不少人对微积 分理论产生过怀疑,直到 Cauchy, Weierstrass建立了极限论的严格基础 人类科学史上最辉煌的成就之 微积分理论的大厦才得以牢固建 作为极限论的出发点,实数系的基本定理—实数系的连续性,在 数学分析课程中占有重要的地位。 (2)实数系的基本定理有多种表达方式: Dedkind切割定理,确界存在 定理,单调有界数列收敛定理,闭区间套定理, bolzano- Weierstrass定 理, Cauchy收敛原理和 Cantor定理。这些定理是等价的,其中每一个 都可以作为极限论的出发点,建立起整个极限理论。 (3)传统的教材常采用 Dedkind切割定理作为实数系连续性定理,并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind切割定理过分抽象,对 大学一年级学生来说难以接受,而将实数连续性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法,直观而简明地证明了确界存在定理,既使得学生 容易掌握,又使得本书的极限理论得以完备化。 (4)通过本节的教学,要求使学生了解人类对数的认识的发展历史;对 实数系的连续性不仅能从几何上理解,还能从分析上掌握如何加以证明 并认识正是由于实数系的连续性,才使它成为整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3.教学安排 (1)讲述人类对数的认识的发展历史 自然数→整数→有理数→实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性,有理数系具有稠 密性,对于实数系,让学生先从几何上理解它的连续性:实数布满整个数轴而无 “空隙”。 2)先给出数集的最大数与最小数的定义:设S是一个数集,如果彐ξ∈S, 使得Ⅴx∈S,有x≤ξ,则称ξ是数集S的最大数,记为ξ=maxS;如果彐η∈S, 使得Ⅴx∈S,有x≥η,则称η是数集S的最小数,记为n=minS。 当数集S是非空有限集,即S只含有有限个数时,maxS与minS显然存在,教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界， 即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积 分理论产生过怀疑，直到 Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础， 人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建 立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在 数学分析课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在 定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定 理，Cauchy 收敛原理和 Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个 都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用 Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind 切割定理过分抽象，对 大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生 容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对 实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明； 并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数⇒整数⇒有理数⇒实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠 密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无 “空隙”。 （2）先给出数集的最大数与最小数的定义：设 S 是一个数集，如果∃ ， 使得 ，有 ，则称 是数集 ξ ∈S ∀ ∈x S x ≤ ξ ξ S 的最大数，记为ξ = max S ；如果 ， 使得 ,有 ∃ ∈η S ∀ ∈x S x ≥ η，则称 η是数集 S 的最小数，记为 η = min S 。 当数集 S 是非空有限集，即 S 只含有有限个数时，max S 与 显然存在， min S