且maxS是这有限个数中的最大者,minS是这有限个数中的最小者。但是当S是 无限集时,情况就不同了。例如集合A={x|x≥0}没有最大数,但有最小数 且minA=0;集合B={x|0≤x<1}没有最大数,但有最小数。 注意在证明数集S没有最大数时,我们采用的思路是:x∈S,3x∈S:x>x。 (3)给出数集的上确界与下确界的定义:设数集S有上界,记U为S的上界 全体所组成的集合,则显然U不可能有最大数,但是U是否一定有最小数?如 果U有最小数β,就称β为数集S的上确界,即最小上界,记为 β=supS。 由定义,可知上确界β满足下述两性质 (a)β是数集S的上界:x∈S,有x≤β (b)任何小于β的数不是数集S的上界:VE>0,彐x∈S,使得x>β-ε (4)叙述实数的无限小数表示:任何一个实数x可表示成 其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分。例如对x=34,有 [x]=3,(x)=04;对x=-2.7,有[x]=-3,(x)=03。我们将(x)表示成无限小数 的形式 (x)=0. 其中a1,a2, 中的每一个都是数字0,1,2,…,9中的一个。若(x) 是有限小数,则在后面接上无限个0,这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0aa2…a1000.(an≠0)与无限小数0aa2…(an-1999.是相等的,为了保持 表示的唯一性,我们约定在(x)的无限小数表示中不出现后者。这样,任何一个 实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示: a0+0 x],0a1 ,x∈S} (5)我们通过下述方法来找出数集的上确界:设数集S有上界,则可令S中 元素的整数部分的最大者为a0(a0一定存在,否则的话,S就不可能有上界) 并记 S={x|x∈S并且[x]=ao}。 显然S不是空集,并且x∈S,只要xgS0,就有x<αo。且max S 是这有限个数中的最大者，min S 是这有限个数中的最小者。但是当 S 是 无限集时，情况就不同了。例如 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， 且min A = 0；集合 B = ≤ {| } x x 0 < 1 没有最大数，但有最小数。 注意在证明数集 没有最大数时，我们采用的思路是： S ∀ ∈ ∃ ':', >∈ xxSxSx 。 （3）给出数集的上确界与下确界的定义：设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界 全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，但是 U 是否一定有最小数? 如 果 U 有最小数β ，就称β 为数集 S 的上确界，即最小上界,记为 β = sup S 。 由定义，可知上确界β 满足下述两性质： （a）β 是数集 S 的上界：∀ x S ∈ ，有 x ≤ β ； （b） 任何小于β 的数不是数集 S 的上界：∀ε > 0，∃ x S ∈ ,使得 。 x > − β ε （4）叙述实数的无限小数表示：任何一个实数 x 可表示成 x =［ x ］+( x )， 其中［ x ］表示 x 的整数部分，( x )表示 x 的非负小数部分。例如对 x = 34. ,有 [ ] x = 3,( ) . x = 0 4 ；对 x = −2 7. ,有[ ] x = −3, ( ) . x = 0 3。我们将( x )表示成无限小数 的形式： ( x ) = 0 , 1 2 .aa a L Ln 其中a a a 中的每一个都是数字 0，1，2，…，9 中的一个。若( 1 2 ，，，， L n L x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0，这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0 000 ( )与无限小数0 1 2 .aa a L L p ap ≠ 0 . () aa a 1 2L p − 1 999L是相等的，为了保持 表示的唯一性，我们约定在( x )的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个 实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛ + .0 210 aaaa n LL ｜a0 =［ x ］, 0 = ( 1 2 .aa a L Ln x ), x ∈S ｝。 （5）我们通过下述方法来找出数集的上确界：设数集 S 有上界，则可令 S 中 元素的整数部分的最大者为α ( 0 α0 一定存在，否则的话， S 就不可能有上界)， 并记 S0 =∈ = {| [] } xx S x 并且 α0 。 显然 不是空集，并且 S0 ∀ x ∈ S ，只要 x ∉S0 ，就有 x ＜α0