再考察数集S。中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,令它们中最大 的为α1,并记 S1={x|x∈S0并且x的第一位小数为ax1} 显然S1也不是空集,并且vx∈S,只要xgS1,就有x<∝o+0.a1 一般地,考察数集S1中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们 中最大的为a,并记 Sn={x|x∈Sn1并且x的第n位小数为an}。 显然Sn也不是空集,并且x∈S,只要xgSn,就有x<α0+0.ax1α2…αn。 不断地做下去,我们得到一列非空数集SS0=S1=…→Sn=…,和一列 数α0,α1,α2,…,αn…,满足 令 这就是我们要找的数集S的上确界。 (6)我们分两步证明β就是数集S的上确界。 (a)x∈S,或者存在整数n≥0,使得xgSn;或者对任何整数n≥0, 有x∈Sn。若xgS,便有 x<a0+0.a1a2…a≤β。 若x∈S(Vn∈NU{0}),由Sn的定义并逐位比较x与阝的整数部分与每一个小 数位上的数字,即知x=β。所以x∈S,有x≤β,即β是数集S的上界 (b)VE>0,只要将自然数n0取得充分大,便有再考察数集 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大 的为α ，并记 S0 1 S1 = ∈ { | xx S x } 0 1 并且 的第一位小数为α 。 显然S1也不是空集，并且∀ x ∈ S ，只要 x ∉S1，就有 x ＜α0 +0.α1。 一般地，考察数集 中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们 中最大的为α ，并记 Sn−1 n Sn = ∈ − { | xx S x n } n n 1 并且 的第 位小数为α 。 显然 也不是空集，并且 Sn ∀ x ∈ S ，只要 x S ∉ n ，就有 x ＜α0 1 2 +0.α α …αn 。 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃…⊃ Sn ⊃ …，和一列 数α0 1 2 ， ， ，…， α α αn ,…，满足 α0 ∈Z ； α ｛0,1,2,…，9}, k ∈ ∀k ∈ N 。 令 β = α0 +0.α1 α2 …αn …， 这就是我们要找的数集 的上确界。 S （6）我们分两步证明β 就是数集 S 的上确界。 （a） ∀ ∈x S ，或者存在整数 ，使得 n0 ≥ 0 x S ∉ n0 ；或者对任何整数 ， 有 。若 ,便有 n ≥ 0 x S ∈ n x S ∉ n0 x ＜α0 +0.α1 α2 …αn0 ≤β。 若 x S ∈ n ( ∀ ∈n N U{ }0 )，由 的定义并逐位比较 Sn x 与β 的整数部分与每一个小 数位上的数字，即知 x = β 。所以∀ x S ∈ ，有 x ≤ β ，即β 是数集 S 的上界。 (b) ∀ε > 0，只要将自然数 取得充分大，便有 n0 1 10 0 n < ε