取x0∈Sn,则β与x的整数部分及前n0位小数是相同的,所以 <E x0>β 即任何小于B的数B-E不是数集S的上界。 (7)最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理”,即有理数集是不连续 的。 设T={x|x∈Q并且x>0,x2<2},证明T在Q中没有上确界。 证用反证法。 假设T在Q内有上确界,记supT=(m,n∈N且m,n互质),则显然有 )2<3 由于有理数的平方不可能等于2,于是只有下述两种可能: 1< 记2 t,则0<t<1。令 6n7则“+r>0+r∈Q,并且 t<0。 这说明一+r∈T,与一是T的上确界矛盾 <(")2<3 m2-2=1,则0<t<1。令r=2t,显然也有 >0 r∈O并且 r+t>0 这说明"-r也是T的上界,与”是T的上确界矛盾。 由此得到结论:T在O中没有上确界 4.注意点: )由于学生初学微积分,对极限论的抽象概念不易接受,应该在讲课 中突出几何直观。如√2位于有理数集合的“空隙”中,应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置;在确界定理的叙述中,应指出若实数取 ，则 x S 0 ∈ n0 β 与 的整数部分及前 位小数是相同的，所以 x0 n0 β − x0 ≤ 1 10 0 n < ε ， 即 x0 > β − ε 即任何小于 β 的数 β − ε 不是数集 的上界。 S （7） 最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理”，即有理数集是不连续 的。 设T x =∈ > < { | xQ x x 并且 ，0 2 2}，证明T 在 中没有上确界。 Q 证 用反证法。 假设T 在Q内有上确界，记supT = n m （ 且 mnN ， ∈ m，n互质），则显然有 1＜( ) n m 2 ＜3。 由于有理数的平方不可能等于 2，于是只有下述两种可能： (a) 1＜( ) n m 2 ＜2： 记2 2 − = 2 n m t ，则 0＜ ＜t 1。令r n m = t 6 , 则 n m + r ＞0, n m + ∈r Q ，并且 ( ) n m r r n m + − = + −< r t 2 2 2 2 0。 这说明 n m + ∈r T ，与 n m 是T 的上确界矛盾。 (b) 2＜( ) n m 2 ＜3： 记 n m t 2 2 − = 2 ,则 0＜ ＜t 1。令r n m = t 6 ，显然也有 n m − r ＞0, n m − r ∈Q 并且 ( ) n m r r n m − − = − +> r t 2 2 2 2 0。 这说明 n m − r 也是T 的上界，与 n m 是T 的上确界矛盾。 由此得到结论：T 在Q中没有上确界。 4． 注意点： （1） 由于学生初学微积分，对极限论的抽象概念不易接受，应该在讲课 中突出几何直观。如 2 位于有理数集合的“空隙”中, 应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置；在确界定理的叙述中，应指出若实数