134 数字图像处理（第三版） 4.3.3取样定理 我们在2.4节中直观地介绍了取样的概念。现在，我们考虑形式上的取样过程，并确立一个条件 在该条件下， 一个连续函数完全可由其取样集合来恢复 对于以原点为中心的有限区间（带宽）【-44】之外的频率值，其傅里叶变换为零的函数 f称为带限函数。图4.7(a)就是这样一个函数，它是图4.6(a的一个放大部分。类似地，图4.7b)是 图4.6（©）所示临界取样后的函数的傅里叶变换更详细的视图。较低的/△T值将导致F()中的周期融 合，较高的V△T值在周期之间会提供更为清晰的间隔。 如果能从F()中包含的这个函数的拷贝的周期序列中分离出F(4)的一个拷贝，那么我们就可 以从取样后的版本复原fO,其中F(4)是取样后的函数子0)的傅里叶变换。回顺前节的讨论，F() 是周期为V△T的连续周期函数。因此，我们需要一个完整的周期来表征整个变换。这意味着我们用 傅里叶反变换从一个单周期就可恢复f0。 如果拷贝间的间距足够（见图4.6），从F()提取一个单周期使其等于F(4)是可能的。根据图4,76) 如果12△T>4或者 立>2 (4.3-6) 则可保证有足够大的间距。该公式指出，如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续 的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。这个结论就是众所周知的取样定理。基于这一结果， 我们可以说，如果一个连续的带限函数用取样率大于函数最高颜率的两倍的取样来表示不会有信息损 失。反过来，我们也可以说以1/△T的取样率对一个信号取样的最 大频率是4=1/2△T。有时，奈奎斯特取样率对于完美函数的恢复 是充分的，但是，也存在引起闲难的情况，如我们稍后在例4.3中说明 的那样。这样，取样定理就规定了取样率必须超过奈奎斯特取样率。 F ab F() 247 27 图4.7(a)一个带限函数的变换，(b)对同一函数做临界取样得到的变换 为了从原理上了解如何从F()复原F(),考虑图4.8，该图显示了一个以略高于奈奎斯特取样 率取样后的函数的傅里叶变换。图4.8(6)中的函数由下式定义： ∫AT,-≤μ≤m H)=0. (4.3-7） 其他