解a≠0,不妨设a>0,抛物线开口向上。过(x,y)可以作该抛物线 两条切线当且仅当(x,y)在该抛物线的下方,即y<ax2+bx+c。同理当 a<0时,y>ax2+bx+c,因此 S,=x, y)la(ax2+bx+c-v)>oo 过(x,y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x,y)在该抛物线上 所以 S2=(x,y)|ax2+bx+c-y=0}。 由此得到 S,=(S, US,)=x, y)la(ax2+bx+c-v)<oo 8.(1)设f(x)在x=x0处可导,g(x)在x=x0处不可导,证明 cf(x)+c2g(x)(c2≠0)在x=x0处也不可导 (2)设f(x)与g(x)在x=x0处都不可导,能否断定c1f(x)+c2g(x)在 x=x0处一定可导或一定不可导? 解(1)记h(x)=c1f(x)+c2g(x),当c2≠0时,如果h(x)在x=x处可导 则g(x)=[h(x)-c1f(x)/c2在x=x处也可导,从而产生矛盾 (2)不能断定。如g(x)=f(x)=,当c1==c2时,c1f(x)+c2g(x)在x=0 处是可导的;当c1≠-c2时,cf(x)+c28(x)在x=0处不可导。 9.在上题的条件下,讨论f(x)g(x)在x=x0处的可导情况。 解函数f(x)=c在x=0处可导,g(x)=x在x=0处不可导,则f(x)g(x) 当c=0时在x=0处可导,当c≠0时在x=0处不可导 函数f(x)=g(x)=x在x=0处都不可导,但f(x)g(x)=x2在x=0处可 导。函数f(x)=g(x)=sgn|x在x=0处都不可导,f(x)g(x)=sn|x在x=0解 a ≠ 0，不妨设a > 0，抛物线开口向上。过(x, y)可以作该抛物线 两条切线当且仅当(x, y)在该抛物线的下方，即 y < ax 2 + bx + c。同理当 a < 0时, y > ax 2 + bx + c ，因此 {( , )| ( ) 0} 2 S1 = x y a ax + bx + c − y > 。 过(x, y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x, y)在该抛物线上， 所以 {( , )| 0} 2 S2 = x y ax + bx + c − y = 。 由此得到 ( ) {( , ) | ( ) 0} 2 S3 = S1 S2 = x y a ax + bx + c − y < C ∪ 。 8. ⑴ 设 f x( ) 在 x = x0 处可导， g x( ) 在 x = x0 处不可导，证明 c f 1 2 ( ) x + ( c g x) (c2 ≠ 0)在 x = x0处也不可导。 ⑵ 设 与 在 处都不可导, 能否断定 在 处一定可导或一定不可导？ f x( ) g x( ) x = x0 ( ) ) 1 2 c f x + c g(x x = x0 解 （1）记 ( ) ( ) ) 1 2 h x = c f x + c g(x ，当 0 c2 ≠ 时，如果 在 处可导， 则 在 h(x) x = x0 1 2 g(x) = [h(x) − c f (x)]/ c x = x0处也可导，从而产生矛盾。 （2）不能断定。如 g(x) = f (x) = x ，当 1 2 c = −c 时， ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 处是可导的；当 时， x = 0 1 2 c ≠ −c ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 x = 0处不可导。 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x)在 x = x0处的可导情况。 解 函数 f x( ) = c在 x = 0处可导，g x( ) =| x |在 x = 0处不可导，则 当 时在 处可导，当 f x( )g(x) c = 0 x = 0 c ≠ 0时在 x = 0处不可导。 函数 f x( ) = g( ) x =| x |在 x = 0处都不可导，但 2 f ( ) x g( ) x = x 在 处可 导。函数 在 x = 0 f x( ) = = g(x) sgn | x | x = 0处都不可导，f x( )g( ) x = sgn | x |在 x = 0 68