第二十二章各种积分间的联系与场论初步 §1各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: (1)91xy2dy-2yd,其中L为椭圆+=1,取正向 (2)(x+y)d dy,L同(1 (3)1(x+y)2dx-(x2+y2)dy,L是顶点为A(1,1),B(3,2),C(2,5)的三 角形的边界,取正向; (4)1(x2+y3)dx-(x3-y2)dy,L为x2+y2=1,取正向; (5) ey sin zda+e- sin ydy,L为矩形a≤r≤b,c≤y≤d的边界,取 正向 (6)fLey[ysinry+cos(a +y)dx+(r sin ry +cos(a+y))dy), t L 是任意逐段光滑闭曲线 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积: (1)双纽线r2 (2)笛卡儿叶形线x3+y3=3ay(a>0); t)sint, t cos t,0<t≤2 3.利用高斯公式求下列积分: (1)J2x2ydz+y2ddx+2dxdy,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 (b)S为锥面x2+y2=2(0≤z≤h),下侧第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 §1 各种积分间的联系 1. 应用格林公式计算下列积分： (1) H L xy2dy − x 2 ydx，其中L 为椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1，取正向； (2) H L (x + y)dx + (x − y)dy，L 同(1)； (3) H L (x + y) 2dx − (x 2 + y 2 )dy，L 是顶点为A(1, 1), B(3, 2), C(2, 5)的三 角形的边界，取正向； (4) H L (x 2 + y 3 )dx − (x 3 − y 2 )dy，L 为x 2 + y 2 = 1，取正向； (5) H L e y sin xdx + e −x sin ydy，L 为矩形a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d的边界，取 正向； (6) H L e xy [(y sin xy + cos (x + y)) dx + (x sin xy + cos (x + y)) dy]， 其 中L 是任意逐段光滑闭曲线． 2. 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ； (2) 笛卡儿叶形线x 3 + y 3 = 3axy(a > 0)； (3) x = a(1 + cos2 t) sin t, y = a sin2 t cost, 0 ≤ t ≤ 2π. 3. 利用高斯公式求下列积分： (1) RR S x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy，其中 (a) S为立方体0 ≤ x, y, z ≤ a的边界曲面外侧； (b) S 为锥面x 2 + y 2 = z 2 (0 ≤ z ≤ h)，下侧． 1