(4)→(5).E2,E,是可数集,故不妨设E,∪E,=enn2允许 某些系数为0,我们仍可根据E的完备性得到 ( e)e, 从而 (xy)=∑(x,en),∑(yenn) mel im(∑(x,e1,∑(yek,) im∑(xe)(y,e) ∑(xen)y,en) (5)→(6).若x∈H,(x,e)=0,由(5),|=∑xen.x.) =0,故x=0 (6)→(1).若有E∪{e}是H的规范正交集并且CgE,则 e⊥E从而e关于E的 Fourier系数全为0但eo≠0,与(6)矛盾 整个定理得证 定理6中的(6)有时称为E的完全性.当H不完备时,(6)不必与其 他条件等价 定理7设H是 Hilbert空间,则 (1)H可分当且仅当H有可数正交基 (2)当H的正交基有可数无穷多个元时,H与12等距同构 (3)当H的正交基仅有有限多个元时,H与Φ”等距同构 于是本质上说来,可分 Hilbert空间要么是P2,要么是Φ 证明1若H可分,设x1,x2…是H中的可数稠密集.从x1开始8 (4) ⇒(5). Ex Ey , 是可数集, 故不妨设 E ∪ E = {e : n ≥ 1}. x y n 允许 某些系数为 0, 我们仍可根据 E 的完备性得到 1 1 (, ) , ( , ) nn nn n n x ee e y ye e ∞ ∞ = = = = ∑ ∑ . 从而 ( , ) ( ( , ) , ( , ) ) 1 1 n n n n n n x y ∑ ∑ x e e y e e ∞ = ∞ = = lim( ( , ) , ( , ) ) 1 1 i n i i i n i i n ∑ x e e ∑ y e e = = →∞ = lim ( , )( , ) 1 i n i i n ∑ x e y e = →∞ = ( , )( , ) 1 n n n ∑ x e y e ∞ = = (4-1-6) (5) ⇒ (6) . 若 , ( , ) 0, n x H xe ∈ = 由 (5), 2 1 ( , )( , ) n n n x xe xe ∞ = = ∑ = 0 , 故 x = 0. (6) ⇒ (1). 若 有 E ∪{e0} 是 H 的规范正交集并且 e0 ∉ E , 则 e0 ⊥ E 从而 0 e 关于 E 的 Fourier 系数全为 0 但 e0 ≠ 0 , 与(6)矛盾. 整个定理得证. 定理 6 中的(6)有时称为 E 的完全性. 当 H 不完备时, (6)不必与其 他条件等价. 定理 7 设 H 是 Hilbert 空间, 则 (1) H 可分当且仅当 H 有可数正交基. (2) 当 H 的正交基有可数无穷多个元时, H 与 2 l 等距同构. (3) 当 H 的正交基仅有有限多个元时, H 与 n Φ 等距同构. 于是本质上说来, 可分 Hilbert 空间要么是 2 l , 要么是 n Φ . 证明 D 1 若 H 可分, 设 x1 , x2 ,"是 H 中的可数稠密集. 从 1 x 开始