(1)称E是H的正交基,若E不能扩充为更大的规范正交集 (2)称E是完备正交集,若vx∈H,记E,={n≥1}是使 (x,e)≠0的E中元素全体,则x关于Ex的 Parseval等式成立 非0内积空间中规范正交集合以其包含关系构成半序集根据 Zorn引理,其中存在极大规范正交集.换句话说,任一内积空间必存 在正交基 定理6设H是 Hilbert空间,EcH是规范正交集,则以下条件 等价 (1)E是H的正交基 (2) span E=H (3)Vx∈H,x关于E具有 Fourier展开式 (4)Vx∈H,x关于Ex的 Parseval等式成立 (5)Wx,y∈H,(x,y)=∑(x,en)e)(en∈E,E,) (6)若x∈H,x⊥E,则x=0 证明(1)→(2)若有x∈H\pmn{E},记E2={en}由 Bessel 不等式,∑(x)≤x根据 Riesz-Fischer定理,习y∈spom{E} y=∑(x,en·显然x≠y,设 则eoE.由于 (x,en)=(yen),所以en⊥e0(n=1,2,…) 对于每个e∈E\E2,(xe)=0.从而(en,e)=0,又(y,e)=0. 所以(eo,e) (xe)-(y,e)=0(ve∈E)这说明E∪{eo}是比 E更大的规范正交集,与E为正交基矛盾 (2)◇(3)今(4).这是定理3中E=H的情况7 (1) 称 E 是 H 的正交基, 若 E 不能扩充为更大的规范正交集. (2) 称 E 是完备正交集, 若 ∀x ∈ H , 记 Ex = {en ,n ≥ 1}是使 (x,e) ≠ 0的 E 中元素全体, 则 x 关于 Ex 的 Parseval 等式成立. 非 0 内积空间中规范正交集合以其包含关系构成半序集.根据 Zorn 引理, 其中存在极大规范正交集. 换句话说, 任一内积空间必存 在正交基. 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 是规范正交集, 则以下条件 等价: (1) E 是 H 的正交基. (2) span E H= (3) ∀ ∈x H x, 关于 Ex 具有 Fourier 展开式. (4) ∀x∈ H x, 关于 Ex 的 Parseval 等式成立. (5) 1 , , ( , ) ( , )( , ). n n n xy H x y xe ye ∞ = ∀∈ = ∑ ( n e ∈ Ex ∪ Ey ). (6) 若 x∈ ⊥ Hx E , , 则 x = 0. 证明 (1)⇒(2) 若有 x ∈ H \ span{E}, 记 Ex = {en }. 由 Bessel 不等式, 2 2 1 (, ) n n x e x ∞ = ∑ ≤ . 根据 Riesz-Fischer 定理, { }, x ∃ ∈y span E 1 (, ) n n n y xe e ∞ = = ∑ . 显 然 x ≠ y , 设 x y x y e − − 0 = , 则 e0 ∉ E . 由 于 ( , ) ( , ) n n x e = y e , 所以 0 ( 1,2, ) n e en ⊥ = " . 对于每个 \ ,( , ) 0. x e E E xe ∈ = 从而 ( ,) 0 n e e = , 又 ( , ) 0. y e = 所以 0 1 ( , ) [( , ) ( , )] 0 ( ) e e xe ye e E x y = − = ∀∈ − . 这说明 E e ∪{ 0} 是比 E 更大的规范正交集, 与 E 为正交基矛盾. (2) ⇔ (3) ⇔ (4). 这是定理 3 中 E = H 的情况