定义yn=xn-∑(xn,e1,C 则 0.否则 xn∈span{e;:1≤i≤n-l}=span{x11≤i≤n-l} 与线性无关性相矛盾.当1≤i≤n-1时 (m, e ,)=(m, e, )-E(,, e, (e, e,) 所以(en,e,) )=0.同时 span{e1:1≤i≤m}=spwn{xn,e1:l≤i≤n-1} x,1≤i≤n} (en}即是所需要的序列 定理5( Riesz- Fischer)设H是 Hilbert空间,E={en}是H的规 范正交集对于任一标量序列{an∑叫lan)<∞,存在x∈smE 使得x=∑ann,并且an=(x,en) 证明令x,=∑ae,由∑|a|<m知道m≥n,n→m时 c. →0 xn}是 Cauchy序列,H完备,不妨设x=limx, en,x∈spmE 此外 (x,e1)=lim(xn,e1)=a1(i=1,2,) (x, e )e 定义3设H是内积空间,EcH是规范正交集 66 定义 n n i n n i n n n i y y y = x −∑ x e e e = − = ( , ) , 1 1 , 则 yn ≠ 0 . 否则 xn ∈span { } ei :1 ≤ i ≤ n −1 = span {xi :1 ≤ i ≤ n −1} 与线性无关性相矛盾. 当1 ≤ i ≤ n −1时, ( ) , ( , ) ( , )( , ) 1 1 i j n i n j n j n i y e x e ∑ x e e e − = = − = (,)(,) 0 nj nj xe xe − = . 所以 1 ( , ) ( , ) 0. nj nj n ee ee y = = 同时 { :1 } { , :1 1} i ni span e i n span x e i n ≤ ≤ = ≤≤ − = span {xi ,1 ≤ i ≤ n}. { }n e 即是所需要的序列. 定理 5（Riesz-Fischer） 设 H 是 Hilbert 空间, E = {en }是 H 的规 范正交集. 对于任一标量序列 { } 2 1 , n n n α α ∞ = ∑ < ∞ , 存在 x∈ span E 使得 1 n n n x α e ∞ = = ∑ , 并且 ( , ) n n α = x e . 证明 令 i n i n i x ∑ e = = 1 α , 由 2 1 n n α ∞ = ∑ < ∞ 知道 m ≥ n , n → ∞ 时, 0 1 2 2 1 2 − = ∑ = ∑ → = + = + m i n i m i n n m i i x x α e α { }n x 是 Cauchy 序列， H 完备，不妨设 n n x x →∞ = lim ，则 1 , n n n x α e ∞ = = ∑ x∈ span E 此外, ( , ) = lim( , ) = ( = 1,2,") →∞ x e x e i n i i n i α . 故 n n n x ∑ x e e ∞ = = 1 ( , ) . 定义 3 设 H 是内积空间, E H ⊂ 是规范正交集