变元的连续性知道 =(x,x)=lm(xnx)=m∑(x,e,)=∑(xen) (3)→(1)令x=∑(x,e1)e,由(3) -∑(xe)=∑ i=n+1 故x= lim x,但xn∈ span E,所以x∈ span E。 定理3说明,要x关于正交集E的 Fourier展开式成立,必须并 且只要x属于由E张成的闭线性子空间或者x关于E的 Parseval等式 下面定理给出了得到规范正交集的方法。 定理4(Gram- Schmidt)设{xn}是内积空间H中一列线性无关元 素,则存在H中的规范正交集E={en:n≥1},使得Vn≥1 e;:l≤i≤n}=span{x1:1≤i≤n} 证明由x1≠0,令y=x1,e1 显然 span e= span y,)= span x) 由x2与x1(从而与e1)线性无关,令y2=x2-(x2,e1)e1,e2= py‖ 则 0.又(y2,e1)=(x2,e1)-(x2,e1)=0,从而(e2,e) (y2,e1)=0并且 spar 依照数学归纳法,不妨设e1,…,en已定义并且 span span i(x5 变元的连续性知道 ( , ) lim( , ) 2 n n n x x x x x →∞ = = = ∑= →∞ n i i n x e 1 2 lim | ( , ) | =∑ ∞ =1 2 | ( , ) | n n x e . (3) ⇒ (1) 令 ∑= = n i n i i x x e e 1 ( , ) ，由（3）， 2 x x n − ＝ 2 x － ∑= n i i x e 1 2 | ( , ) | ＝ | ( , ) | 0 1 ∑ 2 → ∞ i=n+ i x e . 故 n n x x →∞ = lim ，但 xn ∈span E ，所以 x∈ span E 。 定理 3 说明， 要 x 关于正交集 E 的 Fourier 展开式成立，必须并 且只要 x 属于由 E 张成的闭线性子空间或者 x 关于 E 的 Parseval 等式 成立。 下面定理给出了得到规范正交集的方法。 定理 4 (Gram-Schmidt） 设{ n x }是内积空间 H 中一列线性无关元 素，则存在 H 中的规范正交集 { : 1} E en = n ≥ ，使得 ∀n ≥1, span{ei :1 ≤ i ≤ n} = span{x :1 i n} i ≤ ≤ . 证明 由 xi ≠ 0 ，令 1 1 11 1 , y y xe y = = . 显然 span { } e1 = span {y1} = span {x1}. 由 2 x 与 1 x（从而与 1 e ）线性无关，令 2 2 2 2 2 1 1 2 ( , ) , y y y = x − x e e e = ， 则 0 y2 ≠ . 又 ( , ) ( , ) ( , ) 0 y2 e1 = x2 e1 − x2 e1 = , 从 而 2 1 (,) e e = 2 1 2 1 ( ,) 0 y e y = 并且 span { } e1 , e2 = span {x1 , x2 , e1}= span {x1 , x2 }. 依照数学归纳法, 不妨设 1 1 , , n− e " e 已定义并且 span { } ei :1 ≤ i ≤ n −1 = span {xi :1 ≤ i ≤ n −1}