§1 Euler' s Method 梯形公式/ trapezoid formula一显、隐式两种算法的平均 J=2+,Uf(x,y)+f(x1m)(i=0,…,n-1 注:的确有局部都 即梯严需要2个初值y和y1来启动递推 但过程,这样的算法称为双步法/ double-step 迭 method,而前面的三种算法都是单步法 / single-step method*1o a中点欧拉公式/m 中心差商近似导岁y(x)=Xx)yx h →y(x2)≈y(yx2hf(x,y(x1) yH+1=y1+2hf(x,y)i=1,…,n-1 假设n=y(x1,y1=y(x),则可以导出R=yx-)-yn=0(h) 即中点公式具有2阶精度。§1 Euler’s Method  梯形公式 /* trapezoid formula */ — 显、隐式两种算法的平均 [ ( , ) ( , )] ( 0, ... , 1) 2 +1 = + f x y + f x +1 y +1 i = n − h y y i i i i i i 注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。 ( ) ( ) 3 Ri = y xi+1 − yi+1 = O h  中点欧拉公式 /* midpoint formula */ 中心差商近似导数 h y x y x y x 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 1 −   x0 x1 x2 ( ) ( ) 2 ( , ( )) 2 0 1 x1 y x  y x + h f x y yi+1 = yi−1 + 2h f (xi , yi ) i = 1, ... ,n−1 假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。 ( ), ( ) i 1 i 1 i i y = y x y = y x − − ( ) ( ) 3 Ri = y xi+1 − yi+1 = O h 需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 /* double-step method */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step method */