三、典型例题解析 例1已知fx)=sinx,几x)=l-x2,求p(x)的解析式及其定义域. 解依题意得 sing(x)=1-x2,o(x)=arcsin(1-). 由-1≤1-x2≤1可知-反≤x≤√2.故 o(x)=arcsin(1-x),xe-2]. 解(1)由gx)≤0得g)=-x≤0即x之0，所以x20时几g(x=1+x. (2)由gx)>0即gx)=x2>0得x<0.所以x<0时，几g(x=x2+2. 故九g川=+2r<0 1+x,x20 ga-ka-尽达a小o 解(1)由于 oio 且仅当1x上1时，x)=1:|x卡1时，1<x)≤2，则 (x= 1x1 0x1 注函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化.复合后要写下复合函数的定义域.由 ox刃≤fLfx】≤x. 证明由题设可知 )1≤of(xl≤fTfx)l. 几Ux≤Ux≤x 则由上述不等式可得 风x】≤几f(xsx月 注此处多次利用函数单调性的定义 三、典型例题解析 例 1 已知 f x x ( ) sin = ， 2 f x x [ ( )] 1  = − ，求 ( ) x 的解析式及其定义域． 解 依题意得 sin ( )  x = 2 1− x ，( ) x = 2 arcsin(1 ) − x ． 由 2 −  −  1 1 1 x 可知 −   2 2 x ．故 ( ) x = 2 arcsin(1 ) − x ， x −[ 2, 2]． 例 2 设 1 , 0 ( ) 2, 0 x x f x x x  −  =   +  ， 2 , 0 ( ) , 0 x x g x x x   =  −  ．求 f g x [ ( )]． 解 （1）由 g x( ) 0  得 g x x ( ) 0 = −  即 x  0 ，所以 x  0 时 f g x [ ( )]=1+ x ． （2）由 g x( ) 0  即 2 g x x ( ) 0 =  得 x  0 ．所以 x  0 时， f g x [ ( )]= 2 x + 2 ． 故 2 2, 0 [ ( )] 1 , 0 x x f g x x x  +  =   +  ． 例 3 设 1,| | 1 ( ) 0,| | 1 x x x    =    ， 2 2 ,| | 1 ( ) 2, | | 1 x x x x   −  =    ．试求  [ ( )] x ，   { [ ( )]} x ． 解 （1）由于 1,| ( ) | 1 [ ( )] 0,| ( ) | 0 x x x       =    ， 且仅当 | | 1 x = 时， ( ) 1 x = ； | | 1 x  时， 1 ( ) 2    x ．则 1,| | 1 [ ( )] 0,| | 1 x x x    = =    ． （2）当 x − + ( , ) 时， 0 ( ) 1    x ．故  [ ( )] 1 x  ， x − + ( , ) ．于是    { [ ( )]} 1 x  ， x − + ( , ) ． 注 函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由 于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念． 例 4 设 f x( ) ，( ) x ，( ) x 均为单调递增函数，且   ( ) ( ) ( ) x f x x   ．证明：     [ ( )] [ ( )] [ ( )] x f f x x   ． 证明 由题设可知    [ ( )] [ ( )] [ ( )] x f x f f x   ， f f x f x x [ ( )] [ ( )] [ ( )]      ， 则由上述不等式可得     [ ( )] [ ( )] [ ( )] x f f x x   ． 注 此处多次利用函数单调性的定义．