例5下述说法中与imx,=a的定义等价的是() A,寸s∈(0，3W,当n≥N时，有1x.-ak100s· B.E>l,3W,当n>N时，有x,-ak6· C.W,3s>0,当n>N时，有x,-akE. D.3N,E>0,当n>N时，有1x,-ak6. 解im,=a的定义：对于数列x,存在常数a,使得对于任意给定的正数c(不论 它多么小)，存在自然数N,使当n>N时，不等式x,-ak6恒成立. A与上述定义等价，因为6>0具有任意性，100s也具有任意性 B因为￡>1不能保证c为任意小，从而由x,-akc不能保证x,与a无限接近 C中的s是存在性，与定义不符. D如果存在自然数N,使对G>0,当n>N时有x,-ak6,这说明数列x,有极限a, 说明D是上述定义的充分条件.但反之如果1mx,=a,不一定能找到那样的（它可能与 6无关.这一要求比N与e有关的要求更高)，使对任意e>0,当n>N时，都有|x,-a水k6, 因为在定义中N是依赖于ε的给定而确定的.因而D不是上述定义的必要条件.故选A. 例6(03研)设a,}、，}、{c,)均为非负数列，且 limd,=0,limb,=1,limc,=o, 则染有新表示0年考研真题，以下同 A.a,<b对任意n成立. B.b<C,对任意n成立 C.1ma,不存在 D.imb.c不存在 解法1由数列极限的定义，数列{a,;的极限关心的是a,在某个N(足够大)之后的性 质，前面的有限多项则无关紧要.因此A、B中“任意”的条件显然不成立.“0”型 的极限是未定式，C不成立，故选D. 事实上，当limb,=b≠0，limc.=o时，由无穷大量的定义得到imb,c.=0 解法2举反例：取a,=子6=1，G=分则可以直接排除A、B、C. 例7当x→1时，函数二六的极限( x-1 A.2. B.0.C.0.D.不存在且不为0. 分析左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件，本题中函数 三二12，所以解本愿的关键是因式六。例 5 下述说法中与 lim n n x a → = 的定义等价的是（ ）． A．     (0,1) , N ，当 n N 时，有 | | 100 n x a −   ． B．    1, N ，当 n N 时，有 | | n x a −   ． C．    N, 0  ，当 n N 时，有 | | n x a −   ． D．    N, 0  ，当 n N 时，有 | | n x a −   ． 解 lim n n x a → = 的定义：对于数列 n x ，存在常数 a ，使得对于任意给定的正数  （不论 它多么小），存在自然数 N ，使当 n N 时，不等式 | | n x a −   恒成立． A 与上述定义等价，因为   0 具有任意性，100 也具有任意性． B 因为   1 不能保证  为任意小，从而由 | | n x a −   不能保证 n x 与 a 无限接近． C 中的  是存在性，与定义不符． D 如果存在自然数 N ，使对    0 ，当 n N 时有 | | n x a −   ，这说明数列 n x 有极限 a ， 说明 D 是上述定义的充分条件．但反之如果 lim n n x a → = ，不一定能找到那样的 N （它可能与  无关．这一要求比 N 与  有关的要求更高），使对任意   0 ，当 n N 时，都有 | | n x a −   ， 因为在定义中 N 是依赖于  的给定而确定的．因而 D 不是上述定义的必要条件．故选 A． 例 6（03 研 * ） 设 { }n a 、{ }n b 、{ }n c 均为非负数列，且 lim 0 n n a → = ， lim 1 n n b → = ， lim n n c → =， 则必有（ ）． A． n n a b  对任意 n 成立． B． n n b c  对任意 n 成立． C． lim n n n a c → 不存在． D． lim n n n b c → 不存在． 解法 1 由数列极限的定义，数列 { }n a 的极限关心的是 n a 在某个 N （足够大）之后的性 质，前面的有限多项则无关紧要．因此 A、B 中“任意 n ”的条件显然不成立．“0  ”型 的极限是未定式，C 不成立，故选 D． 事实上，当 lim 0 n n b b → =  ， lim n n c → = 时，由无穷大量的定义得到 lim n n n b c → =  ． 解法 2 举反例：取 2 n a n = ， 1 n b = ， 2 n n c = ，则可以直接排除 A、B、C． 例 7 当 x →1 时，函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限（ ）． A． 2 ． B． 0 ． C． ． D．不存在且不为  ． 分析 左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数 2 1 1 exp 1 1 x x x − − − 为两个因式的乘积，易求出 2 1 1 lim 2 x 1 x → x − = − ，所以解本题的关键是因式 1 x 1 e − ． 注：03 研表示 2003 年考研真题，以下同