高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 上面我们看到，不含z的方程+=R在空间直角坐标系中表示圆柱面，它的母线平行 于z轴，它的准线是xOy面上的圆X+=R 一般地，只含x、y而缺z的方程F(x)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴 的柱面，其准线是xOy面上的曲线CF(x)=O. 例如，方程=2x表示母线平行 于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线y=2x该柱面叫做抛物柱面， 又如，方程x-0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面的直线x-=0,所以它 是过z轴的平面. 类似地，只含x、z而缺y的方程G(xz)=0和只含八、z而缺x的方程H(y,z)=0分别 表示母线平行于y轴和x轴的柱面 例如，方程x-2=0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是zOx面上的直线x-2=0.所 以它是过y轴的平面 四、二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二 次曲面.把平面叫做一次曲面. 怎样了解三元方程F(x人，z）=0所表示的曲面的形状呢方法之一是用坐标面和平行 于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法 研究曲面的另一种方程是伸缩变形法： 设S是一个曲面，其方程为F(x,y2)=0,S'是将曲面S沿x轴方向伸缩1倍所得的曲 面， 显然，若(x乃动eS则(x5)∈S;若(x乃》eS,则(x八，)eS. 因此，对于任意的xy动∈S,有F号x)=0,即F号xy)=0是曲面S的方程 例如，把圆锥面x2+y2=2z2沿y轴方向伸缩2倍，所得曲面的方程为 +(号P=a2,即兰+ a2 (1)椭圆锥面 由方程+2 京+京=子所表示的曲面称为椭圆锥面。 圆锥曲面在y轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面+少=2沿y轴方向伸缩倍，所得曲面称为椭圆锥面兰+ a2+62 =z2. a2 以垂直于z轴的平面=t截此曲面，当t=0时得一点(0,0,0)；当t≠0时，得平面t