因此(1)成立.类似地可以证明(2)成立 例2设∫是R”上的L可积函数,则 f(x+1)-f(x)rx=0 r→0JR" 证明先设∫是具有紧支集的连续函数.则存在闭球S(0,r),使得当xgS(0,r)时 ∫=0.由于∫在S(O,r)上连续,因此∫在S(O,r)上一致连续.因此对任意E>0,存在 6>0,使得当x,x"∈SO.n,d(x,x”)<0时,成立(x)-f(x")<.记 f(x)=∫(x+1).于是当d(0.1)<δ时,我们有 ∫D-dk=J1-d<Em0) 这表明当∫是具有紧支集的连续函数时(3)成立一般情形,由定理2,存在R”上的具有紧 支集的连续函数g,使得一图k<5,由上面所证,存在6>0,使得当 d(0,1)<6时,。g1-gx<2由41例4,有 厂U-sdk=J-gd< 于是当d(0,1)<δ时,我们有 ∫-nd≤JCM-gak+J月k-gk+J-d e 8 因此(3)成立■ 小结本节证明了几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理。本 节的结果表明 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近.利用积分 的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法 习题习题四,第40题一第42题115 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■ 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则 0 lim ( ) ( ) 0. n t f x t f x dx → ∫ +− = R (3) 证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S(0,r), 使得当 x ∉ S(0,r) 时 f = 0. 由于 f 在 S(0,r) 上连续, 因此 f 在 S(0,r) 上一致连续. 因此对任意ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 x′, x′′∈ S(0,r), d(x′, x′′) < δ 时 , 成 立 f (x′) − f (x′′) < ε. 记 f (x) f (x t). t = + 于是当d(0,t) < δ 时, 我们有 (0, ) ( (0, )). n t t S r f −= −< f dx f f dx m S r ε ∫ ∫ R 这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理 2, 存在 n R 上的具有紧 支集的连续函数 g , 使 得 . 3 n f g dx ε ∫ − < R 由上面所证 , 存 在 δ > 0, 使得当 d(0,t) < δ 时, . 3 n t g g dx ε ∫ − < R 由§4.1 例 4, 有 . 3 n n t t f g dx f g dx ε ∫ ∫ − = −< R R 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 . 333 n n nn t tt t f f dx f g dx g g dx g f dx εεε ε −≤ − + −+ − <++= ∫∫ ∫∫ RR RR 因此(3)成立.■ 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 本 节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题—第 42 题