∫-8kh≤Jxm1-l=m4-0)+mU-小<e 定理4设∫∈L(R1).则对任意E>0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g 使得f-gtx<E 证明设∫∈L(R)类似于定理2的证明,我们不妨设f=IA,其中mA)<+0.令 A=A∩[-k,k]k=1,2,…则A↑并且A=UA.于是lmm(41)=m(A)因此对 任意E>0.,存在k使得m(4)-m4)<7令9=14则o∈L-kk由定理3,存 在[点A月上的阶梯函数g,使得广0-g<2延拓g的定义使得g在点上为 零.则g是为R上的具有紧支集的阶梯函数.我们得到 ∫-gh≤J∫-+J =m-m04)+广-g<2+2=6 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子 例1( Riemann- Lebesgue引理)设∫∈Ll,b则 lim f(x)cos ndx=0 lim f(x)sin ndx=0 证明先设∫=la,,其中(a,B)c[a,b]则 In n0-sinna f(x)cos nxx=)f(x)cos nxx →0.n→ 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数f∫,(1)式成立.现在设∫∈L[a,b]对任意 E>0.由定理3存在一个阶梯函数g使得-8<2由上面证明的结果存在 N>0,使得当n>N时,g(x)omhE于是当n>N时有 2 fo (f(x)-g(x)cosnxdx+ g(x)cos ndx I-gldx+5<E114 ( )( ) ( ) ( ). b A U a AU U A f g dx I I dx m A U m U A −∪− ∫ ∫ − ≤ − = −+ −< ε ■ 定理 4 设 f ∈ ). 1 L(R 则对任意ε > 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 1 f g dx − <ε. ∫R 证明 设 f ∈ ). 1 L(R 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 m(A) < +∞. 令 A = A∩[−k, k], k = 1,2,". k 则 Ak ↑ 并且 . 1 ∪ ∞ = = k A Ak 于是 limm(A ) m(A). k k = →∞ 因此对 任意ε > 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak < 令 . 0 Ak ϕ = I 则ϕ ∈ L[−k, k]. 由定理 3, 存 在[−k, k] 上的阶梯函数 g, 使得 . 2 k k g dx ε ϕ − ∫ − < 延拓 g 的定义使得 g 在 c [−k, k] 上为 零. 则 g 是为 1 R 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 1 11 0 () ( ) . 2 2 k k k f g dx f dx g dx m A m A g dx ϕ ϕ ε ε ϕ ε − −≤ −+ − = − + − <+= ∫∫∫ ∫ R RR ■ 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a,b]. 则 lim ( )cos 0. b n a f x nxdx →∞ ∫ = (1) lim ( )sin 0. b n a f x nxdx →∞ ∫ = (2) 证明 先设 (α,β ) f = I , 其中(α, β ) ⊂ [a,b]. 则 sin sin ( )cos ( )cos 0, . b a n n f x nxdx f x nxdx n n − ∫ ∫ = = → →∞ β α β α 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1)式成立. 现在设 f ∈ L[a,b]. 对任意 ε > 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − < ∫ b a f g dx 由上面证明的结果, 存在 N > 0, 使得当n > N 时, . 2 ( ) cos ε < ∫ b a g x nxdx 于是当 n > N 时有 ( )cos ( ( ) ( ))cos ( )cos . 2 bb b aa a b a f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx f g dx ε ε ≤− + ≤ − +< ∫∫ ∫ ∫