意E>0,由§23定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)<E.由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球U(0,r)使得FcU(0,r) 令B=(G∩U(0,r),则B是闭集并且F∩B=.由§3.3引理3,存在R"上的连续函 数g,使得g=1,gl=0.则g是R”上具有紧支集的连续函数注意到0≤8(x)≤1 我们有 ∫J-8ak=JJ-8dk+J∫-stk ≤m(E-A)+m(A-F) m(G-F)<a 般情形由定理1,存在(E)中的简单函数9,使得∫-9<设=∑1 不妨设a1≠0,则m(A)<+∞,i=1,…k.由上面所证的结果,对每个i=1,…k,存 在R"上具有紧集的连线函数g,使得∫|14-8(< 令g= 则 2k a 是R"上具有紧支集的连续函数.我们得到 ∫J-sdk=∫-o+J dx<=+ 8 设[ab]是直线上的有界闭区间称型如f=∑a,J1的函数为b]上的阶梯函数 其中J1,Jn为[a,6的互不相交的子区间.由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯函 数属于La,b] 定理3设∫∈La,b.则对任意E>0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 证明设∫∈L(E)类似于定理2的证明,我们不妨设∫=lA,其中Ac[a,b并且 m(A)<+∞.由§23例3,对任意E>0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使得 m(A-U)∪(U-A)<E.显然我们可以设Uc(a,b),令g=lu,则g是阶梯函数 并且113 意 ε > 0, 由 §2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) < ε . 由于 F 是有界集, 因此存在半径充分大的开球U(0,r) 使得 F ⊂ U(0,r). 令 ( (0, )) , c B = G ∩U r 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由§3.3 引理 3, 存在 n R 上的连续函 数 g, 使得 = 1, F g = 0. B g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 注意到 0 ≤ g(x) ≤ 1, 我们有 ( )( ) ( ). E EA A EA AF f g dx f g dx f g dx g dx f dx mE A mA F mG F ε − − − −= −+ − = + ≤ −+ − ≤ −< ∫∫ ∫ ∫ ∫ 一般情形, 由定理 1, 存在 L(E) 中的简单函数ϕ, 使得 . 2 ε −ϕ < ∫E f dx 设 . 1 Ai k i i ∑a I = ϕ = 不妨设 ≠ 0, ai 则 ( ) < +∞, m Ai i = 1,", k. 由上面所证的结果, 对每个 i = 1,", k, 存 在 n R 上具有紧支集的连续函数 , gi 使得 . 2 A i i E i I g dx k a ε ∫ − < 令 , 1 ∑= = k i g ai gi 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 我们得到 1 . 2 22 i E EE k i Ai E i f g dx f dx g dx a I g dx ϕ ϕ ε εε ε = −= −+− <+ − <+= ∫∫∫ ∑ ∫ ■ 设[a,b] 是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i f ∑a I = = 1 的函数为[a,b] 上的阶梯函数, 其中 n J ,, J 1 为[a,b]的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯函 数属于 L[a,b]. 定理 3 设 f ∈ L[a,b] . 则对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 . b a f g dx − <ε ∫ 证明 设 f ∈ L(E). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 A ⊂ [a,b]并且 m(A) < +∞. 由§2.3 例 3, 对任意ε > 0, 存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函数. 并且