§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,p),C是可积函数类L()的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得』-8du<,则称可积函数可以用C 中的函数逼近 般测度空间上积分的逼近 定理1设(X,,)是一个测度空间,∫∈L(4)则对任意E>0,存在L()中的 简单函数g,使得-8d<6 证明设∫∈L(4).由§31推论10,存在一个简单函数列{n},使得{n}处处收敛 于∫,并且n|s/,n≥1.由于f可积,因此每个f都可积注意到n-f≤2f并 且fn-f→0(m→∞),利用控制收敛定理得到 n∫ 因此存在一个m,使得∫-/<6令g=f即知定理成立 Lebesgue积分的逼近设E是R中的L可测集.用L(E)表示E上的 Lebesgue可积函 数的全体 定理2设E是R"上的一个 Lebesgue可测集,∫∈L(E).则对任意E>0,存在R 上具有紧支集的连续函数g,使得∫|-g<E 证明设∫∈L(E).先设设∫=lA是特征函数,其中AcE并且m(A)<+∞.对任112 §4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间 (X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ < ε, ∫ f g d 则称可积函数可以用C 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理 1 设(X , F ,µ) 是一个测度空间, f ∈ L(µ). 则对任意ε > 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ < ε. ∫ f g d 证明 设 f ∈ L(µ). 由§3.1 推论 10, 存在一个简单函数列{ }, n f 使得{ }n f 处处收敛 于 f , 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 由于 f 可积, 因此每个 n f 都可积. 注意到 f f f n − ≤ 2 并 且 f − f → 0(n → ∞), n 利用控制收敛定理得到 lim 0. ∫ − = →∞ f n f dµ n 因此存在一个 , n0 使得 . 0 − µ < ε ∫ f n f d 令 n0 g = f 即知定理成立.■ Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 n R 中的 L 可测集. 用 L(E) 表示 E 上的 Lebesgue 可积函 数的全体. 定理 2 设 E 是 n R 上的一个 Lebesgue 可测集, f ∈ L(E). 则对任意ε > 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 . E f g dx − <ε ∫ 证明 设 f ∈ L(E). 先设设 A f = I 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且 m(A) < +∞. 对任