理,这是使得Levi- Civita出名的重要定理.我现在平方程(5.5)求外微分.因 为d(de)=0,所以右边的话,我就得求dy,结果得到的是 dw a= Wik Awkj (5.6) 因此这些u之间有很简单的关系,简单得不得了.因为什么呢?因为对 于d=∧ωk,i,j是不相等的.如果相等了的话,i是0,这是因为是 反对称的,所以你取≠j.如果k等于i,则=0k要等于j,幼方=0.所以k 不等于i,不等于j.因为我们是在3维空间,k只有一它可能性.因此这它看着 很神奇的方程式,它的右边只有一项,我上次平它写下来了,就是 du12=u13∧u32 (57) du13=u12∧u23 (5.8) du23=u21∧a13. 尤其是得到d12=a13∧w32这它公式.但是u是反对称的,所以就得到 du12=-u13∧u23 而u13,23都是a1,w2的线性组合 W13= aw1+bw2, W23=bw1 +cwi 5.11 这刚巧就得到下面这它公式 dw12 =-w13 A w23=-Kwi Aw2 K是Gaus曲率,Gaus曲率就是K=ac-b2.这它公式不得了.当变Gaus不 是这样得到这它公式,是用旁的方法得到公式.它叫做 Theorem egregium 用中文讲,它是一它奇妙的定理,妙的定理.你细细看看它,它是很妙的.因 为我们的E是单位矢量丛,它这它圆周丛对于曲面M有一它投影:对于圆周 从,有这它单位矢量,我取它的原点就是它的投影.因此我们现在的几何比 从前观念上比较复杂了,就是说,不只是有一它曲面或者有一它曲线,现在➤, ❨✹✫③Levi-CivitañÖ④➢✞➼➤. ➲✙ó➨✵➬(5.5)❋✐❻■. ❖ ➃d(dei) = 0, ➘✶➁✣④➏, ➲Ò③❋dωij , ❼✯③t④✹ dωij = ωik ∧ ωkj . (5.6) ❖✩❨❏ω❷✲❿✐❀❭④✞ø, ❀❭③❳③ê. ❖➃✤➃✑?❖➃é ➉dωij = ωik ∧ ωkj , i, j✹❳★⑧④. ➌✯★⑧ê④➏, ωii ✹0, ❨✹❖➃ω✹ ✬é➪④, ➘✶✜❘i 6= j. ➌✯k⑧➉i, ☛ωii = 0; k✞⑧➉j, ωjj = 0. ➘✶k ❳⑧➉i, ❳⑧➉j. ❖➃➲➣✹ó3➅✽✲, k➄❿✘➬✱✕✉. ❖✩❨➬✗ø ✐￾Û④✵➬✯, ➬④➁✣➄❿✘✶, ➲Þ✬➨➬❯✆✉ê, Ò✹ dω12 = ω13 ∧ ω32. (5.7) dω13 = ω12 ∧ ω23. (5.8) dω23 = ω21 ∧ ω13. (5.9) ❷Ù✹③tdω12 = ω13 ∧ ω32❨➬Ú✯. ❜✹ω ✹✬é➪④, ➘✶Ò③t dω12 = −ω13 ∧ ω23. (5.10) ✌ω13, ω23Ñ✹ω1, ω2④✧✉✜❭: ω13 = aω1 + bω2, ω23 = bω1 + cω2. (5.11) ❨➛✜Ò③t✆➪❨➬Ú✯: dω12 = −ω13 ∧ ω23 = −Kω1 ∧ ω2. (5.12) K✹Gauss▼●, Gauss ▼●Ò✹K = ac−b 2 . ❨➬Ú✯❳③ê. ❤★Gauss❳ ✹❨ø③t❨➬Ú✯, ✹⑦❦④✵✛③tÚ✯. ➬✇✮Theorem Egregium, ⑦➙➞❨, ➬✹✘➬Û➱④➼➤, ➱④➼➤. ✜ûû✗✗➬, ➬✹✐➱④. ❖ ➃➲➣④E✹❭➔✪Þ✲, ➬❨➬❐➧✲é➉▼➪M ❿✘➬❂❦: é➉❐➧ ✲, ❿❨➬❭➔✪Þ, ➲❘➬④➷➎Ò✹➬④❂❦. ❖✩➲➣✙ó④✁❬✞ ✱✄✡✬Þ✞✈❹ìê, Ò✹⑨, ❳➄✹❿✘➬▼➪Ý❱❿✘➬▼✧, ✙ó 6