第3期 冯丹，等：连续型数据的辨识矩阵属性约简方法 ·373· 而POSg(D)CPOS,(D)显然成立，因此POSB(D)= 表1病例决策信息表 P0S,(D)。 Table 1 Decision information for cases 另设x,x∈POS4(D)且[x:]。∩[x]。=☑，则 序号 a 存在X,X,∈U/D(X。≠X)使得8(x:)≤X。=[x:]D 0.66 0.45 0.20 0.82 和8(x)CX1=[x]0。由于x4(x:)→x X2 0.47 0.30 0.06 0.65 1 6(x:),所以6(x:)CX。,从而x:∈POSg(D)。于是 X3 0.05 0.80 0.40 0.10 2 POS(D)CPOS(D),而POSB(D)CPOS,(D)是显 0.35 0.51 0.00 0.52 2 然成立的，因此POS(D)=POS4(D)。综上所述，结 0.31 0.20 0.15 0.70 论成立。 根据定理1可以定义如下的辨识矩阵。 0.00 1.00 0.20 0.00 2 定义3设(U,A,F,D={d})为决策表，U= 取￡=0.25，根据定义1和定义2，计算关系矩阵 {x1,x2,…,xn},A={a1,a2,am},令 N,(i≤4)、N,以及决策关系矩阵N。分别为 DIS =(x,)x;EPOS,(D),;POS,(D)A 110000 110110 111111 d(x:)≠d(x)}U{(x,x)lx,x∈ 110110 110110 110111 P0S,(D)A[x:]。∩[x]。= 001001 001001 101011 N,= ,N3= 则称DIS为决策表(U,A,F,D)的可辨识域。对于 010110 ,N2= 110100 110111 任意的样本对(x:,x)eDIS,记 010110 110010 111111 {a∈A:年δn(x:)},(x:,x)∈DIS 001001 001001] 111111 DM(i,j)= 110010 110000 110010 (A,(x,x)生DIS 110110 110110 110010 则称DM(i,j)为x,x的辩识集合，称DM为基于 001001 001001 001101 邻域关系的辨识矩阵。 N .NA= ,N= 010110 010100 001101 定理2设DM为决策表(U,A,F,D={d})的 110110 010010 110010 辨识矩阵，B二A,则B是决策表的一个约简的充要 001001 001001 001101」 条件是：B满足B∩DM(i,j)≠☑，Hx:,x∈U的最 说明N4￠N。由以上计算知，POS(D)={x1,x, 小子集。 x5,x6}。根据定义3，得到辨识矩阵如表2所示。 定理2说明通过辨识矩阵可以等价地刻画决策 表2病例决策信息表的辨识矩阵 表的属性约简。下面给出决策表的属性约简的辨 Table 2 Discernibility matrix of case decisions 识公式。通过析取和合取运算可以获得决策表的 序号 X2 全部约简。 a1,a2,a4a1,a4 1,a2,a4 定义4设DM为决策表(U,A,F,D)的辨识 矩阵，U={x1,x2,…,xn},辨识函数定义为 A y A f(U,A,F,D)=A (V DM(i,j)) x3 a1,a2,d4 A A a1,2,a4 A i.i=1 定理3设f(U,A,F,D)为决策表(U,A,F,D) A A A 的辨识函数，如果通过析取和合取运算，有 A A a1,a2,a4 a1,a2,a4 f(U,A,F,D)=V (A B) x6a1,a2,a4a1,a2,a4 A A a,a,aa A k=1 式中：B,CA,且B中每个属性只能出现一次。则称 所以，可得决策表的辨识函数为 {B:k≤}是A的所有约简组成的集类。 f=(a Va)A(a VaVa)Aa2= A的所有约简组成的集类记为RED,(A)={B: (a1∧a2)V(a2Aa4) k≤}。 因此{a1,a2}和{a2,a4}是病例决策表的两个 下面通过一个具体的实例来说明应用辨识矩 约简。 阵方法如何求解邻域决策表的属性约简。 2属性约简算法 例1表1是具有4种症状a1、a2、a3、a4的某 些病例信息，具体描述如表1所示。 经典粗糙集算法是以等价关系作为聚类标准而 ＰＯＳＢ（Ｄ）⊆ＰＯＳＡ（Ｄ）显然成立，因此 ＰＯＳＢ（Ｄ）＝ ＰＯＳＡ（Ｄ）。 另设 ｘｉ，ｘｊ∈ＰＯＳＡ （Ｄ） 且［ｘｉ］ Ｄ∩［ｘｊ］ Ｄ ＝ ∅，则 存在 Ｘ０ ，Ｘ１∈Ｕ／ Ｄ Ｘ０≠Ｘ１ ( ) 使得 δＡ（ｘｉ）⊆Ｘ０ ＝ ［ｘｉ］ Ｄ 和 δＡ （ ｘｊ ） ⊆ Ｘ１ ＝ ［ｘｊ］ Ｄ。 由于 ｘｊ ∉ δＡ （ ｘｉ ） ⇒ ｘｊ ∉ δＢ（ｘｉ），所以 δＢ（ｘｉ）⊆Ｘ０ ，从而 ｘｉ∈ＰＯＳＢ（Ｄ）。 于是 ＰＯＳＡ（Ｄ） ⊆ＰＯＳＢ（Ｄ），而 ＰＯＳＢ（Ｄ）⊆ＰＯＳＡ（Ｄ）是显 然成立的，因此 ＰＯＳＢ（Ｄ）＝ ＰＯＳＡ（Ｄ）。 综上所述，结 论成立。 根据定理 １ 可以定义如下的辨识矩阵。 定义 ３ 设（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ ＝ ｛ ｄ｝） 为决策表，Ｕ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝，Ａ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，…ａｍ ｝，令 ＤＩＳ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ｘｉ ∈ＰＯＳＡ（Ｄ），ｘｊ ∉ ＰＯＳＡ（Ｄ） ∧ ｄ（ｘｉ） ≠ ｄ（ｘｊ）｝ ∪ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ｘｉ，ｘｊ ∈ ＰＯＳＡ（Ｄ） ∧ ［ｘｉ］ Ｄ ∩ ［ｘｊ］ Ｄ ＝ ∅｝ 则称 ＤＩＳ 为决策表（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ） 的可辨识域。 对于 任意的样本对（ｘｉ，ｘｊ）∈ＤＩＳ，记 ＤＭ（ｉ， ｊ） ＝ ｛ａｌ ∈ Ａ：ｘｊ ∉ δａｌ （ｘｉ）｝， （ｘｉ，ｘｊ） ∈ ＤＩＳ Ａ， （ｘｉ，ｘｊ） ∉ ＤＩＳ { 则称 ＤＭ（ｉ， ｊ）为 ｘｉ，ｘｊ 的辩识集合，称 ＤＭ 为基于 邻域关系的辨识矩阵。 定理 ２ 设 ＤＭ 为决策表（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ ＝ ｛ｄ｝）的 辨识矩阵，Ｂ⊆Ａ，则 Ｂ 是决策表的一个约简的充要 条件是：Ｂ 满足 Ｂ∩ＤＭ（ｉ，ｊ）≠∅，∀ｘｉ，ｘｊ∈Ｕ 的最 小子集。 定理 ２ 说明通过辨识矩阵可以等价地刻画决策 表的属性约简。 下面给出决策表的属性约简的辨 识公式。 通过析取和合取运算可以获得决策表的 全部约简。 定义 ４ 设 ＤＭ 为决策表（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ） 的辨识 矩阵，Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝，辨识函数定义为 ｆ(Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ) ＝ ∧ ｎ ｉ，ｊ ＝ １ （∨ ＤＭ（ｉ，ｊ）） 定理 ３ 设 ｆ（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ）为决策表（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ） 的辨识函数，如果通过析取和合取运算，有 ｆ（Ｕ，Ａ，Ｆ，Ｄ） ＝∨ ｌ ｋ ＝ １ （∧ Ｂｋ） 式中：Ｂｋ⊆Ａ，且 Ｂｋ 中每个属性只能出现一次。 则称 {Ｂｋ：ｋ≤ｌ}是 Ａ 的所有约简组成的集类。 Ａ 的所有约简组成的集类记为ＲＥＤＤ（Ａ）＝ ｛Ｂｋ： ｋ≤ｌ｝。 下面通过一个具体的实例来说明应用辨识矩 阵方法如何求解邻域决策表的属性约简。 例 １ 表 １ 是具有 ４ 种症状 ａ１ 、ａ２ 、ａ３ 、ａ４ 的某 些病例信息，具体描述如表 １ 所示。 表 １ 病例决策信息表 Ｔａｂｌｅ １ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃａｓｅｓ 序号 ａ１ ａ２ ａ３ ａ４ Ｄ ｘ１ ０．６６ ０．４５ ０．２０ ０．８２ １ ｘ２ ０．４７ ０．３０ ０．０６ ０．６５ １ ｘ３ ０．０５ ０．８０ ０．４０ ０．１０ ２ ｘ４ ０．３５ ０．５１ ０．００ ０．５２ ２ ｘ５ ０．３１ ０．２０ ０．１５ ０．７０ １ ｘ６ ０．００ １．００ ０．２０ ０．００ ２ 取 ε ＝ ０．２５，根据定义 １ 和定义 ２，计算关系矩阵 Ｎｌ（ｉ≤４）、ＮＡ 以及决策关系矩阵 ＮＤ 分别为 Ｎ１ ＝ １１００００ １１０１１０ ００１００１ ０１０１１０ ０１０１１０ ００１００１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ，Ｎ２ ＝ １１０１１０ １１０１１０ ００１００１ １１０１００ １１００１０ ００１００１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ，Ｎ３ ＝ １１１１１１ １１０１１１ １０１０１１ １１０１１１ １１１１１１ １１１１１１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú Ｎ４ ＝ １１００１０ １１０１１０ ００１００１ ０１０１１０ １１０１１０ ００１００１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ，ＮＡ ＝ １１００００ １１０１１０ ００１００１ ０１０１００ ０１００１０ ００１００１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ，ＮＤ ＝ １１００１０ １１００１０ ００１１０１ ００１１０１ １１００１０ ００１１０１ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 说明 ＮＡ⊄ＮＤ。 由以上计算知，ＰＯＳＡ（Ｄ）＝ ｛ｘ１ ，ｘ３ ， ｘ５ ，ｘ６ ｝。 根据定义 ３，得到辨识矩阵如表 ２ 所示。 表 ２ 病例决策信息表的辨识矩阵 Ｔａｂｌｅ ２ Ｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｃａｓｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎｓ 序号 ｘ１ ｘ２ ｘ３ ｘ４ ｘ５ ｘ６ ｘ１ Ａ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ ａ１，ａ４ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ ｘ２ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ ｘ３ ａ１，ａ２，ａ４ Ａ Ａ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ Ａ ｘ４ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ ｘ５ Ａ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ Ａ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ ｘ６ ａ１，ａ２，ａ４ ａ１，ａ２，ａ４ Ａ Ａ ａ１，ａ２，ａ４ Ａ 所以，可得决策表的辨识函数为 ｆ ＝ （ａ１ ∨ ａ４ ） ∧ （ａ１ ∨ ａ２ ∨ ａ４ ） ∧ ａ２ ＝ （ａ１ ∧ ａ２ ） ∨ （ａ２ ∧ ａ４ ） 因此｛ ａ１ ，ａ２ ｝ 和｛ ａ２ ，ａ４ ｝ 是病例决策表的两个 约简。 ２ 属性约简算法 经典粗糙集算法是以等价关系作为聚类标准 第 ３ 期 冯丹，等：连续型数据的辨识矩阵属性约简方法 ·３７３·