第3期 康向平，等：一种基于概念格的集值信息系统中的知识获取方法 ·291· B,故BCD曰DCB成立。 4 集值信息系统中的约简、核、依赖等 3)当(U/R)+=B时，有(U/R)=B*=U/RB成 知识的获取 立。又(U/R)+=B={m∈ATIRC{m}},故 m∈B台RC{m}·台RCRm,从而有RCRg。显然， 定理1约简、核、依赖等作为粗糙集研究的重 要组成部分，也是本文研究的重点。针对集值信息 此时由RCRB即得U/RCU/RB,进而U/RC 系统中的相关问题，本文给出一种基于定理6的求 (U/R)成立。由于 解方法。此节内容是通过借鉴文献[12]得到的。 B=(U/Rg)=BUm E (AT-B)I Rg Cm) 在S=(U,AT,V,F)中，设m∈BCAT,若RB≠ 故结论BCB成立。 Ra-m,称m是B中的必要属性；B中所有必要属性的 4)由上述结论可知U/RC(U/R)艹→ 集合称为B的核，记为Core(B);设CCBCAT,若C (U/R)艹(U/R),此外，又由结论3)即得 是满足Rg=Rc的最小属性子集，称C是B的一个 (U/R)+C(U/R))+=(U/R)艹，故(U/R)+= 约简；设B,DCAT,若R&RD,称B→D是一个 (U/R)艹成立；同理可证B*=B艹，证毕。 依赖。 定理5对于任意BCAT,(B*,B)是一个相 定理7设m∈BCAT,若满足下述条件： 容概念，且U/Rg是(B*,B+)的外延。 {L E Int(S)I(B-m)CL}≠{L∈Int(S)IBSL 证明由B+=B即得(B,B“)是一个相容概 定理4则m∈Core(B)成立。 念，进而由B*=U/Rg可知U/Rg是相容概念 证明假设m生Core(B)成立。有如下结论： (B*,B)的外延。证毕。 Rg-m=Ra→U/Ra-m=U/Rg台(B-m)+=B+ 进而由(B-m)艹=B艹即得 由上述定理可知，(B(U,AT,V,F),≤)可以将 所有覆盖的集合{U/ReIB二AT}以格的形式有机地 {L∈Int(S)I(B-m)*≤L}= 组织起来，由此，本文将其视为集值信息系统 {L∈Int(S)IB+CL} (U,AT,V,F)中的重要代数结构。 又(B-m)CL台(B-m)艹CL且BCL台B艹CL,故 定理6设nt(S)是S=(U,AT,V,F)中所有相 {L∈nt(S)I(B-m)CL={L∈Int(S)IBCL} 容概念内涵的集合，则对于任意B二AT,有 与条件相矛盾！所以m∈Core(B)成立，证毕。 B**=L C Int(S)I B CL 定理8设CCBCAT,若C是满足下述条件的 证明与参考文献[29]中有关结论的证明过 最小属性子集： 程相类似，在此不再详述。证毕。 {L∈Int(S)IBCL}={L∈Int(S)ICCL} 例如，基于定义7中的算子，可以从表3导出一 则C是B的一个约简。 个如图3的格结构，该结构即为表2所示集值信息 证明基于定理6，由上述条件即得B*=C+, 系统中的相容概念格。图3中的X,/X2/…/X,表示 进而有 覆盖{X1,X2,…,X},任意“u:”表简化表示为“”。 B+=C+台B*=C台U/RB=U/Rc台RB=Rc 又由于C是满足上述条件的B的最小属性子集，故 (12345678.d) C是B的一个约简，证毕。 (123456/5678,b) (1256783478,d 在表2中所示的集值信息系统中，当B={a,b, 1234/34578.c9(d356/34567 c,d}时，依据上述定理，并参照表5中的包含关系， (1234/3456/5678.g6c) (56456&6 (1256/1278/34.de) 我们不难发现{a,d}和{b,c,d}是B的约简， 45678.be (1234785678e0 Core(B)={d;而当B={a,b,c}时，{a}和{b,c}是 (12/3456/78.abce)234/5678,4bcd B的约简，Core(B)=☑。为便于表示，表5中的任 125634/78.be) 意属性子集{m1,m2,…,mn}简化为m1m2…mno (12/34/56/78.abcde) 定理9设B,DCAT,若满足条件： {L∈Int(S)IBSL}S{L∈Int(S)lDCL} 图3一个相容概念格 则B→D是一个依赖。 Fig.3 A tolerance concept lattice 证明由条件可知： n{L∈Int(S)IDCL}Cn{L∈nt(S)IBCL 进而由定理6即得DSB+。由于Ｂ ＋ ，故 Ｂ⊆Ｄ⇒Ｄ ＋⊆Ｂ ＋成立。 ３）当(Ｕ／ Ｒ) ＋ ＝ Ｂ 时，有(Ｕ／ Ｒ) ＋＋ ＝ Ｂ ＋ ＝ Ｕ／ ＲＢ 成 立。 又 (Ｕ／ Ｒ) ＋ ＝ Ｂ ＝ ｍ ∈ ＡＴ ｜ Ｒ ⊆ {ｍ} ∗ { } ， 故 ｍ∈Ｂ⇔Ｒ⊆{ｍ} ∗ ⇔Ｒ⊆Ｒｍ ，从而有 Ｒ⊆ＲＢ 。 显然， 此时 由 Ｒ ⊆ ＲＢ 即 得 Ｕ／ Ｒ ⊆ Ｕ／ ＲＢ ， 进 而 Ｕ／ Ｒ ⊆ (Ｕ／ Ｒ) ＋＋成立。 由于 Ｂ ＋＋ ＝ Ｕ／ ＲＢ ( ) ＋ ＝ Ｂ ∪ ｍ ∈ (ＡＴ － Ｂ) ｜ ＲＢ ⊆{ｍ} ∗ { } 故结论 Ｂ⊆Ｂ ＋＋成立。 ４） 由 上 述 结 论 可 知 Ｕ／ Ｒ ⊆ (Ｕ／ Ｒ) ＋＋ ⇒ (Ｕ／ Ｒ) ＋＋＋⊆ (Ｕ／ Ｒ) ＋ ， 此 外， 又 由 结 论 ３ ） 即 得 (Ｕ／ Ｒ) ＋ ⊆ (Ｕ／ Ｒ) ＋ ( ) ＋＋ ＝ (Ｕ／ Ｒ) ＋＋＋ ， 故 (Ｕ／ Ｒ) ＋ ＝ (Ｕ／ Ｒ) ＋＋＋成立；同理可证 Ｂ ＋ ＝Ｂ ＋＋＋ ，证毕。 定理 ５ 对于任意 Ｂ⊆ＡＴ， Ｂ ＋ ，Ｂ ＋＋ ( ) 是一个相 容概念，且 Ｕ／ ＲＢ 是 Ｂ ＋ ，Ｂ ＋＋ ( ) 的外延。 证明 由 Ｂ ＋＋＋ ＝Ｂ ＋即得 Ｂ ＋ ，Ｂ ＋＋ ( ) 是一个相容概 念，进 而 由 Ｂ ＋ ＝ Ｕ／ ＲＢ 可 知 Ｕ／ ＲＢ 是 相 容 概 念 Ｂ ＋ ，Ｂ ＋＋ ( ) 的外延。 证毕。 由上述定理可知， (Ｂ(Ｕ，ＡＴ，Ｖ，Ｆ) ，≤) 可以将 所有覆盖的集合｛Ｕ／ ＲＢ ｜ Ｂ⊆ＡＴ｝以格的形式有机地 组织 起 来， 由 此， 本 文 将 其 视 为 集 值 信 息 系 统 (Ｕ，ＡＴ，Ｖ，Ｆ) 中的重要代数结构。 定理 ６ 设 Ｉｎｔ(Ｓ) 是 Ｓ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｖ，Ｆ) 中所有相 容概念内涵的集合，则对于任意 Ｂ⊆ＡＴ，有 Ｂ ＋ ＋ ＝ ｛Ｌ ⊆ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆ Ｌ｝ 证明 与参考文献［２９］中有关结论的证明过 程相类似，在此不再详述。 证毕。 例如，基于定义 ７ 中的算子，可以从表 ３ 导出一 个如图 ３ 的格结构，该结构即为表 ２ 所示集值信息 系统中的相容概念格。 图 ３ 中的 Ｘ１ ／ Ｘ２ ／ …／ Ｘｌ 表示 覆盖｛Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｌ｝，任意“ｕｉ”表简化表示为“ｉ”。 图 ３ 一个相容概念格 Ｆｉｇ．３ Ａ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ ４ 集值信息系统中的约简、核、依赖等 知识的获取 定理 １ 约简、核、依赖等作为粗糙集研究的重 要组成部分，也是本文研究的重点。 针对集值信息 系统中的相关问题，本文给出一种基于定理 ６ 的求 解方法。 此节内容是通过借鉴文献［１２］得到的。 在 Ｓ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｖ，Ｆ) 中，设 ｍ∈Ｂ⊆ＡＴ，若 ＲＢ ≠ ＲＢ－ｍ ，称 ｍ 是 Ｂ 中的必要属性；Ｂ 中所有必要属性的 集合称为 Ｂ 的核，记为 Ｃｏｒｅ (Ｂ) ；设 Ｃ⊆Ｂ⊆ＡＴ，若 Ｃ 是满足 ＲＢ ＝ ＲＣ 的最小属性子集，称 Ｃ 是 Ｂ 的一个 约简；设 Ｂ，Ｄ⊆ＡＴ，若 ＲＢ ⊆ＲＤ，称 Ｂ→Ｄ 是一个 依赖。 定理 ７ 设 ｍ∈Ｂ⊆ＡＴ，若满足下述条件： {Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ （Ｂ － ｍ） ⊆ Ｌ} ≠ {Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆ Ｌ} 定理 ４ 则 ｍ∈Ｃｏｒｅ (Ｂ) 成立。 证明 假设 ｍ∉Ｃｏｒｅ (Ｂ) 成立。 有如下结论： ＲＢ－ｍ ＝ ＲＢ⇔Ｕ／ ＲＢ－ｍ ＝ Ｕ／ ＲＢ⇔ （Ｂ － ｍ） ＋ ＋ ＝ Ｂ ＋ ＋ 进而由（Ｂ－ｍ） ＋＋ ＝Ｂ ＋＋即得 Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ （Ｂ － ｍ） { ＋ ＋ ⊆ Ｌ} ＝ Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ { ＋ ＋ ⊆ Ｌ} 又(Ｂ－ｍ) ⊆Ｌ⇔(Ｂ－ｍ) ＋＋⊆Ｌ 且 Ｂ⊆Ｌ⇔Ｂ ＋＋⊆Ｌ，故 {Ｌ ∈Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ （Ｂ － ｍ） ⊆Ｌ} ＝ {Ｌ ∈Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆Ｌ} 与条件相矛盾！ 所以 ｍ∈Ｃｏｒｅ（Ｂ）成立，证毕。 定理 ８ 设 Ｃ⊆Ｂ⊆ＡＴ，若 Ｃ 是满足下述条件的 最小属性子集： {Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆ Ｌ} ＝ {Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｃ ⊆ Ｌ} 则 Ｃ 是 Ｂ 的一个约简。 证明 基于定理 ６，由上述条件即得 Ｂ ＋＋ ＝ Ｃ ＋＋ ， 进而有 Ｂ ＋ ＋ ＝ Ｃ ＋ ＋⇔Ｂ ＋ ＝ Ｃ ＋ ⇔Ｕ／ ＲＢ ＝ Ｕ／ ＲＣ⇔ＲＢ ＝ ＲＣ 又由于 Ｃ 是满足上述条件的 Ｂ 的最小属性子集，故 Ｃ 是 Ｂ 的一个约简，证毕。 在表 ２ 中所示的集值信息系统中，当 Ｂ ＝ ｛ａ，ｂ， ｃ，ｄ｝时，依据上述定理，并参照表 ５ 中的包含关系， 我们不 难 发 现 ｛ ａ， ｄ ｝ 和 ｛ ｂ， ｃ， ｄ ｝ 是 Ｂ 的 约 简， Ｃｏｒｅ（Ｂ）＝ ｛ｄ｝；而当 Ｂ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ｝时，｛ ａ｝和｛ ｂ，ｃ｝是 Ｂ 的约简，Ｃｏｒｅ（Ｂ） ＝ ⌀。 为便于表示，表 ５ 中的任 意属性子集｛ｍ１ ，ｍ２ ，…， ｍｎ ｝简化为 ｍ１ｍ２… ｍｎ 。 定理 ９ 设 Ｂ，Ｄ⊆ＡＴ，若满足条件： ｛Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆ Ｌ｝ ⊆ ｛Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｄ ⊆ Ｌ｝ 则 Ｂ→Ｄ 是一个依赖。 证明 由条件可知： ∩ ｛Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｄ ⊆ Ｌ｝ ⊆∩ ｛Ｌ ∈ Ｉｎｔ(Ｓ) ｜ Ｂ ⊆ Ｌ｝ 进而由定理 ６ 即得 Ｄ ＋＋⊆Ｂ ＋＋ 。 由于 第 ３ 期 康向平，等：一种基于概念格的集值信息系统中的知识获取方法 ·２９１·