第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 8.1多项式的稳定性判据 给定n阶多项式 设它的n个根为s,=1,2,,m,则f(s)可以分解为因子(s-s)的乘积 f(s)=an(s-81)( )(s-8n) (8.1) 给定s平面内一点s,f(s2)的极坐标形式为 f(s)=|f(s”川e 其中f(s)的模|f(s”川和幅角argf(s“)分别为 If(s" ∠(s*-s1)+∠( (8.2)式的几何意义如图81所示。从图中可以看出,当s沿区域D的边界aD反时针方向转一圈时, f(s) f(s2) 图81:8平面内一点.·与f(s)在f(8)平面内的表达 若s;gaD,则∠(s*-s)的增量为 若s;D 由(8.3)式可得多项式的稳定性判据。 定理8.1f(s)的η个根都在区域D内,当且仅当。沿∂D反时针方向转一圆时f(s)的幅角增量为2nπ 这里ωD是区域D的边界. 定理8.1给出了用图解法判定f(s)是否稳定的方法。与直接求根的方法相比较,这种方法的优点在于只 需计算f(),绘出f(s)的图形,这里s∈OD.这仅仅是一个计算问题。而求f(s)的根一般来说没有系 统的方法。对于实系数多项式,即a=[aa1….an-an]2∈R+1,上述结果还可以进一步简化 下面给出实系数多项式 Burwitz稳定性的一个判据。此时D为左半平面,aD={ju:u∈R} 定理8.2( Leonard.- Mikhailov定理)实余数多项式∫(s)的个根都位于左半开平面,当且仅当由0增 至∞时,arg∫(ju)的增量为nπ/2.或等价地,f(ju)反时针方向经过π个象限。￾✂✁✂✄✆☎✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✂✏ ✑✓✒✕✔ ✖✘✗✚✙✚✛✚✜✣✢✣✤✚✥✣✦✣✧ ★✪✩✬✫✮✭✪✯✪✰✪✱ ✲✴✳ ✵ ✶✸✷✪✹✺ ✵ ✺✼✻ ✹✺ ✽✿✾ ✵ ✺ ✽✿✾❀✻✪❁ ❁ ❁ ✻ ✹✓✾ ✵ ✻ ✹❂❄❃ ❅✪❆✪❇✬✫❉❈✪❊✪❋ ✵ ● ❍✓■✿✷❑❏ ▲ ▼ ▲ ❃ ❃ ❃ ▲ ✫ ❍ ◆ ✲✴✳ ✵ ✶✸❖✪P✪◗✪❘❋✪❙✪❚ ✳ ✵❱❯❲✵ ● ✶ ❇✪❳✪❨ ✲✴✳ ✵ ✶✸✷✪✹✺ ✳ ✵✕❯❩✵ ✾ ✶ ✳ ✵✕❯❲✵ ❬ ✶ ❁ ❁ ❁ ✳ ✵✕❯❩✵ ✺ ✽✿✾ ✶ ✳ ✵✕❯❩✵ ✺✴✶✓❃ ✳ ❭ ❪ ❏ ✶ ★✪✩ ✵❴❫✪❵✪❛✪❜✪❝❞✵ ❡ ❍ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❇✪❢✪❣✪❤✪✐✪✱❥❋ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶❄✷❧❦ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❦ ♠♥ ♦♣q r s t ✉ ✈ ▲ ✇✪① ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❇✪② ❦ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❦ ③✪④✪⑤✬⑥⑦⑧ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶❄◗✪⑨❋ ❦ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❦⑩✷❶❦ ✹✺❀❦ ❁ ❦ ✵ ❡✸❯❲✵ ✾ ❦ ❁ ❦ ✵ ❡✕❯❩✵ ❬ ❦ ❁ ❁ ❁ ❦ ✵ ❡✸❯❲✵ ✺ ✽✿✾ ❦ ❁ ❦ ✵ ❡✸❯❲✵ ✺❀❦ ▲ ⑥⑦⑧ ✲✴✳ ✵ ✶❷✷❹❸ ✳ ✵ ❡✕❯❩✵ ✾ ✶ ✻ ❸ ✳ ✵ ❡✕❯❩✵ ❬ ✶ ✻❺❁ ❁ ❁ ✻ ❸ ✳ ✵ ❡✕❯❩✵ ✺ ✽✿✾ ✶ ✻ ❸ ✳ ✵ ❡✕❯❩✵ ✺✴✶✓❃ ✳ ❭ ❪ ▼ ✶ ✳ ❭ ❪ ▼ ✶ ✱❥❇❥❻❥❼❥❽❥❾❥❿❥➀ ❭ ❪ ❏✸➁❥➂❥➃✬➄➀❥①❖❥P❥➅❥➆❥➇❲➈➉✵ ❡✕➊❥➋❥➌✬➍ ❇❥➎❥➏➉➐➍➒➑❥➓❥➔❥→❥➣❥↔❜❥↕➓➇ ➙ ➛ ➜ ✵ ➝ ➞➞➞➞ ➜ ➞➞➞ ✵ ✾ ➙ ➜ ✵ ❬ ➟ ➟ ➟ ➟ ➟ ➟ ➟ ➜ ✵ ➠ ➡ ➡ ➡ ➤➡➢ ✵ ❡ ✵ ➙ ➛ ➞➞ ➞➞ ➞➞ ➞➞ ➞➞ ✲✴✳ ➞➥ ➞ ✵ ❡ ✶ ➦✕➧ ✲✴✳ ✵ ✶ ➨➩ ✲✴✳ ✵ ✶ ✲✴✳ ✵ ✶ ➫✣➭ ➯ ➲ ➳❀➵❄➸➻➺➻➼➻➽➻➾✣➵ ➚✕➪✣➶✓➹ ➵ ➚ ➘✿➴✣➶✓➹ ➵ ➘✴➸➻➺➻➼➻➷➻➬➻➮ ➱ ✵ ●❐✃❒ ➐➍ ❍ ◆❷❸ ✳ ✵ ❡✕❯❲✵ ● ✶ ❇✪❮✪❰✪❋ Ï ❸ ✳ ✵ ❡ ❯❲✵ ● ✶❄✷❑Ð ▼ Ñ ➱✵ ● ❒ ➍ ▲ Ò ➱✵ ●❐✃❒ ➍ ❃ ✳ ❭ ❪ Ó ✶ Ô ✳ ❭ ❪ Ó ✶ ✱❖✪Õ✯✪✰✪✱✪❇❥Ö❥✩✪×❥Ø✪Ù➃ Ú✪Û❷Ü✴Ý Þ ✲✴✳ ✵ ✶✸ß ✫áà✪â✪ã✪ä✪å✪æ ➍❧ç ➇✕è✪é✪ê✪è✬✵ ❡❐ë ➐➍❑ì✪í✪î✪ï✪ð✪ñ✪ò✪ó✪í ✲✴✳ ✵ ❡ ✶❀ß✪ô✪õ✪ö✪÷✪ø✬▼ ✫ Ñ❀ù ú✪û ➐➍✚üå✪æ ➍ ß✪ý✪þ✪➃ ✩❥ÿ ❭ ❪ ❏ ★➆✁￾✄✂➀❘✆☎Ø❥✩ ✲✴✳ ✵ ✶✞✝✠✟Ö❥✩❥❇→☎❥➃✄✡☞☛✆✌✆✍❊❥❇→☎✆✎✑✏✓✒❥➇✕✔✆✖→☎❇✆✗❝✆✘✠✙✆✚ ✛✄✜☞✢ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❍ ✣✪➆ ✲✴✳ ✵ ❡ ✶ ❇✪➀✪✐➇✕✔☞✤❞✵ ❡ ❒ ➐➍ ❪ ✔☞✥☞✥☞✝✪❜❈✜✆✢✧✦✕★➃✕✩✆✍ ✲✴✳ ✵ ✶ ❇✪❊❜☞✪☞✫☞✬✆✭☞✮✠✯ ✰✪❇→☎✪➃✕✱✆✙☞✲✠✯✄✳✯❥✰✪✱➇☞✴✶✵❲✷✧✷✹❂❑✹✓✾ ❃ ❃ ❃✪✹✺ ✽✿✾❥✹✺ ✸ ✹ ❒✻✺✺ ✼✿✾ ❍ ✽☞✾☞✿☞❀☞❁✪❖✪P✆❂✪❜✆❃✆❄☞❅✪➃ ❆❵★➆✆✲✆✯✕✳✯❥✰✪✱✶❇✞❈⑦❉✞❊ ❋ ● Ö✪✩✪×✪❇❜❈✪Ø✪Ù➃✕❍➓ ➍ ❋☞■☞❏❫✪❵✪➇ ➐➍ ✷✠❑ ▲▼❖◆✑▼ ❒P✺❘◗ ❪ Ú✪Û❷Ü✴Ý ❙ ✳ ❚✴➧ ❯❱⑥⑦❲❳❨✻❊❩❱⑥❊ ❬❯❭ ✩✪ÿ✶❫❪✧❴✻❵✧❛✕❜✆❝ ✲✿✳ ✵ ✶❴ß ✫❉à✪â✪ã☞❞✧❡✄❢✄❣✠❤☞✐✧❥ ➇❲è✪é❥ê❥è❖▼❧❦♥♠❴ö ♦❖♣ í➇❞⑥⑦⑧ ✲✴✳ ▲▼✸✶❐ß✪ö✪÷✪ø ✫ Ñrq ▼ts✞✉✆✈①✇✠②❲➇ ✲✴✳ ▲▼✕✶ ì✪í✪î✪ï✪ð✠③✕④ ✫❺à✠⑤☞⑥➃ ❏ ⑦✓❏