则UcW(这个结论表明:由a1,a2,,a生成的子空间是包含{a1,a2,,a)}的F的 最小子空间) 证对于任意a∈U,存在数k,k2,…,k,使a=ka1+k2a2+.+ka,由于W是一个子 空间,对数乘满足封闭性,且∈W,所以k∈W,j=1,2,…s;由W对加法满足封闭性, 从而ka1+ka2∈W,(ka1+k2a2)+ka3∈W,…,(ka1+ka2+.+k-a-1)+ka∈W.所 习题43 1.下述说法对吗? ①如果有F中的数k,k2…,k,使ka+k2a2+…+ka=0,则向量组(a1,a2,….,a}线性相 关 ②如果有F中不全为零的数k1,k2,…,k,使k1a1+k2a2+…+ka≠0,则向量组{a1,a2,a 线性无关 解①说法不对.例如对于向量E1=0,E2=1,取kk=0,有ke+ke=0,而e,e2 0 (0 是线性无关的 ②说法不对,例如对于向量a1=0,a2=0,取不为零的数k=k=1,有kE+k 0 ≠0,而a1,a2是线性相关的 2.下列向量线性相关,还是线性无关?为什么? 0 0 4 31-101-7 解①令H(a12a2a3) 250 05-4 4 3)(0211 02 01-7 00310031 0025 000则 UW（这个结论表明：由α1，α2，…，αs生成的子空间是包含{α1，α2，…，αs)}的 F n的 最小子空间）． 证 对于任意α∈U，存在数 k1，k2，…，ks，使α= k1α1+ k2α2+…+ksαs，由于 W 是一个子 空间，对数乘满足封闭性，且αj∈W，所以 kjαj∈W，j=1,2,…,s；由 W 对加法满足封闭性， 从而 k1α1+ k2α2∈W，（k1α1+ k2α2）+k3α3∈W，…，（k1α1+ k2α2+…+ ks-1αs-1）+ksαs∈W ．所 以 UW． 习题 4.3 1.下述说法对吗？ ①如果有 F 中的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，则向量组{α1,α2,…,αs}线性相 关． ②如果有 F中不全为零的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则向量组{α1,α2,…,αs} 线性无关． 解 ①说法不对．例如对于向量        0 0 1 1  ，        0 1 0 2  ，取 k1=k2=0，有 k1ε1+k2ε2=0，而ε1,ε2 是线性无关的． ②说法不对．例如对于向量        0 0 1 1 ，        0 0 2  2 ，取不为零的数 k1=k2=1，有 k1ε1+k2ε2 ≠0，而α1,α2是线性相关的． 2.下列向量线性相关，还是线性无关？为什么？ ①        4 2 1 3 1 ，        2 5 0 1  2 ，        3 0 2 1 3 ②        3 0 1 2 1 ，        4 2 3 1  2 ，        1 2 0 3 3 ，        8 4 2 2  4 解 ①令 H=         4 2 3 2 5 0 1 0 2 3 1 1 ( , , ) 1  2 3 →        4 2 3 2 5 0 3 1 1 1 0 2 →         0 2 11 0 5 4 0 1 7 1 0 2 →        0 0 25 0 0 31 0 1 7 1 0 2 →        0 0 0 0 0 31 0 1 7 1 0 2